Trovare percorsi più brevi e più lunghi tra due vertici in un DAG

Dato un DAG non ponderato (grafico aciclico diretto) e due vertici e , è possibile trovare il percorso più breve e più lungo da a nel tempo polinomiale? Le lunghezze del percorso sono misurate dal numero di spigoli.$D = (V,A)$$s$$t$$s$$t$

Sono interessato a trovare la gamma di possibili lunghezze del percorso nel tempo polinomiale.

Ps., Questa domanda è un duplicato della domanda StackOverflow Percorso più lungo in un DAG .

Per il problema del percorso più breve, se non ci preoccupiamo dei pesi, allora la prima ricerca dell'ampiezza è un modo infallibile. Altrimenti l'algoritmo di Dijkstra funziona fintanto che non ci sono fronti negativi.

Per il percorso più lungo, è sempre possibile eseguire Bellman-Ford sul grafico con tutti i pesi dei bordi annullati. Ricordiamo che Bellman-Ford funziona fintanto che non ci sono cicli di peso negativo e quindi funziona con qualsiasi peso su un DAG.

Sia e m = | E ( G ) | . Lascia che w ( a → b ) denoti il ​​peso del bordo ( a → b ) . Supponiamo di voler trovare il costo minimo e massimo del percorso da s a t .$n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

A partire da , eseguire le seguenti operazioni:$b := t$

1. Se è già stato visitato, restituisce i valori min ( b ) e max ( b ) già calcolati . Altrimenti segna b come visitato.$b$$\min(b)$$\max(b)$$b$

2. Determinare e registrare e max ( b ) come segue.$\min(b)$$\max(b)$

   • Se , memorizzare min ( s ) : = max ( s ) : = 0 .$b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • Altro set ignorando i vertici per i qualimin(a)=max(a)=inaccessible. Quando si calcola il minimo e il massimo su un set di spigoli vuoto (nessun spigolo in entrata perb, o tutto ignorato), impostaremin(b $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$ .$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

Dovresti essere in grado di dimostrare che questo algoritmo viene eseguito nel tempo , trascurando il tempo necessario per inizializzare tutte le variabili del vertice.$O(m)$