Trasformare una copertura arbitraria in una copertina di vertice

Dato è un grafico planare e lascia che denoti l'incorporamento nel piano st ogni bordo ha lunghezza . Ho inoltre un set $G=(V,E)$ $\mathcal{G}$ $1$ $C$ di punti in cui ciascun punto è contenuto in . Inoltre, esso vale per ogni punto in che esiste un con geodetica distanza a al massimo uno. (La distanza viene misurata come la distanza più breve entro ) $c \in C$ $\mathcal{G}$ $p$ $\mathcal{G}$ $c \in C$ $p$ $\mathcal{G}$

Voglio sostenere che, dato un per il quale vale la condizione di cui sopra, posso facilmente trasformarlo in una copertura del vertice o, in altre parole, trasformarlo in un della stessa cardinalità st qualsiasi è posto in in un vertice di e copre ancora . $C$ $C'$ $c \in C'$ $\mathcal{G}$ $G$ $C'$ $G$

Il mio approccio era orientare i bordi e spostare i punti in all'estremità del vertice dell'arco. Ma finora non ho trovato un corretto orientamento che produce da . $C$ $C'$ $C$

Qualcuno ha un'idea?

algorithms graph-theory set-cover

— user695652
fonte

Non capisco bene il problema. Cosa significa "

"? Come misurate esattamente le distanze? Se intendi che

è sempre su uno spigolo, allora se lo metti a una delle estremità, allora ogni punto a una distanza massima di

da essa - vale a dire entrambi gli endpoint - è ancora a una distanza massima di

da essa. Per qualunque orientamento.

p

$p$

G

$\mathcal{G}$

p

$p$

1

$1$

1

$1$

— Yuval Filmus,

@Yuval Filmus

è un disegno ad arco di Giordania di

, ovvero un sottoinsieme di

significa solo che il punto deve essere contenuto nel disegno e non in qualsiasi punto del piano. La distanza viene misurata come distanza geodetica in

, ovvero il percorso più breve che collega due punti nel disegno. Per la tua ultima osservazione, prendi un ciclo di 4 e metti due punti nel mezzo del primo e del terzo bordo. Questo copre l'intero grafico, ma se ora si sposta di un punto sul suo vertice del vertice in senso orario e di un punto sul suo vertice del vertice in senso antiorario, si copre

G

$\mathcal{G}$

G

$G$

\mathhbb R^{2}

$\mathhbb{R}^2$

p \in G

$p \in \mathcal{G}$

G

$\mathcal{G}$

— user695652

Se nessun punto in si trovano esattamente sul punto medio di un bordo in , allora è sufficiente associare ogni punto al vertice più vicino a . Lascerò che sia un esercizio per il lettore dimostrare questo (suggerimento: dimostrare per contraddizione). $C$ $\mathcal{G}$ $C$ $\mathcal{G}$

D'altra parte, se i punti in possono trovarsi sul punto medio dei bordi, allora possiamo fornire un contro-esempio: $C$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Le linee blu e cerchi sono e le croci rosse sono . $\mathcal{G}$ $C$

MODIFICATO PER AGGIUNGERE: un esempio con un grafico biconnesso

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— mhum
fonte

Grazie mille per il controesempio. Sei d'accordo sul fatto che se restringiamo i grafici in modo che siano biconnessi, allora l'affermazione è vera, anche se tutti i punti sono nel mezzo?

— user695652

Non credo che la bi-connessione ti salverà. Ho modificato la mia risposta con un nuovo esempio.

— mhum,

Questa è una domanda piuttosto diversa. Potrebbe avere senso pubblicarlo separatamente.

— mum

@mhum Come hai realizzato le immagini dei grafici? Esiste un programma per quello?

— Tacet,

@Tacet Non ricordo esattamente come ho fatto questi. Penso che il primo potrebbe essere stato MS Paint o GIMP. Il secondo potrebbe essere GIMP o Geogebra.

— mum