Asintotici del numero di parole in una lingua regolare di una determinata lunghezza

Per una lingua normale , sia il numero di parole in della lunghezza . Utilizzando la forma canonica Jordan (applicata alla matrice di transizione non annotata di alcuni DFA per ), si può dimostrare che per abbastanza grande , dove sono polinomi complessi e sono "autovalori" complessi. (Per piccolo , potremmo avere termini aggiuntivi nella forma , dove è se e $L$ $c_n(L)$ $L$ $n$ $L$ $n$

c_{n} (L) = \sum_{i = 1}^{k} P_{i} (n) λ_{i}^{n},

$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$

P_{i}

$P_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

n

$n$

C_{k} [n = k]

$C_k[n=k]$

[n = k]

$[n=k]$

1

$1$

n = k

$n=k$

0

$0$ altrimenti. Questi corrispondono a blocchi Jordan di dimensioni almeno con autovalore ).

k + 1

$k+1$

0

$0$

Questa rappresentazione sembra implicare che se è infinito, allora asintoticamente, per alcuni . Tuttavia, questo è palesemente falso: per la lingua su di tutte le parole di lunghezza pari, ma . Ciò suggerisce che per alcuni e per tutti , per abbastanza grande oppure . Ciò è dimostrato in Flajolet e Sedgewick $L$ $c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$ $C,\lambda>0$ $L$ $\{0,1\}$ $c_{2n}(L) = 2^{2n}$ $c_{2n+1}(L) = 0$ $d$ $a \in \{0,\ldots,d-1\}$ $c_{dm+a}(L) = 0$ $m$ $c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ (Teorema V.3), che attribuisce la prova a Berstel.

La prova fornita da Flajolet e Sedgewick è alquanto tecnica; così tecnico, infatti, che lo disegnano solo. Ho tentato una prova più elementare usando la teoria di Perron-Frobenius. Possiamo considerare il grafico di transizione del DFA come un digrafo. Se il digrafo è primitivo, il risultato segue quasi direttamente dal teorema di Perron-Frobenius. Se il digrafo è irriducibile ma imprimibile con l'indice , allora considerando la " potenza" del DFA (ogni transizione corrisponde ai simboli ), otteniamo lo stesso risultato. Il caso difficile è quando il digrafo è riducibile. Possiamo ridurre al caso di un percorso di componenti fortemente connessi e quindi ottenere il risultato stimando le somme del modulo $r$ $r$ $r$

\sum_{m_{1} + \dots + m_{k} = m} \prod_{i = 1}^{k} λ_{i}^{m_{i}} .

$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$ (Ciascuna di queste somme corrisponde a un modo particolare di accettare una parola, passando attraverso i diversi componenti in un certo modo.) Questa somma, a sua volta, può essere stimata individuando il termine più grande, che corrisponde a . Per ogni autovalore che viene ripetuto volte, otteniamo un fattore aggiuntivo di .

m_{i} \propto \log λ_{i}

$m_i \propto \log \lambda_i$

r

$r$

Θ (m^{r - 1})

$\Theta(m^{r-1})$

La prova ha i suoi bordi grezzi: nel caso riducibile, dobbiamo passare dai termini asintotici a alla somma sopra menzionata, quindi dobbiamo stimare la somma. $C \lambda_i^m$

La prova di Flajolet e Sedgewick è forse più semplice, ma meno elementare. Il suo punto di partenza è la funzione generatrice razionale di , e comporta l'induzione sul numero di magnitudini polari (!). L'idea di base è che tutti gli autovalori del modulo massimo sono radici dell'unità (se normalizzati dal loro modulo), a causa di un teorema (moderatamente facile) di Berstel. Scegliendo una appropriata e osservando le parole di lunghezza , tutti questi autovalori diventano reali. Considerando l'espansione parziale della frazione, otteniamo che se l'autovalore del modulo massimo "sopravvive", allora determina gli asintotici, che sono della forma $c_n(L)$ $d$ $dm+a$ $Cn^k\lambda^n$ . Altrimenti, troviamo una nuova funzione di generazione razionale che corrisponde solo a parole di questa lunghezza (usando un prodotto Hadamard) e ripetiamo l'argomento. La quantità di cui sopra continua a diminuire, e così alla fine troviamo gli asintotici desiderati; potrebbe avere a crescere nel processo, per riflettere tutto ciò che accade nei passaggi induttivi. $d$

Esiste una prova semplice ed elementare per la proprietà asintotica di ? $c_n(L)$

— Yuval Filmus
fonte

A quale "proprietà asintotica" ti riferisci, quella proprio in alto?

— Raffaello

Esattamente quella proprietà.

— Yuval Filmus,

Per il caso riducibile, non ci sono semplici limiti combinatori (forse ottenuti considerando i sottoinsiemi di percorsi e i multiset di percorsi)?

— András Salamon,

Ci sono limiti facili, ma probabilmente perdi fattori polinomiali lì. C'è una somma con molti termini polinomiali e possiamo stimarla usando il termine più grande. Tuttavia, questo non ci darà l'asintotico corretto, poiché gli altri termini decadono abbastanza rapidamente. Forse è possibile una stima con un integrale, ma questo sta già diventando un po 'confuso.

— Yuval Filmus,

in generale, trovare prove alternative o più elementari dei problemi può essere molto difficile ed è principalmente un esercizio teorico ... c'è qualche ulteriore motivazione / bkg / applicazione? suggerire di migrare a Cstheory.

— vzn,

L'argomento che hai abbozzato sembra essere in linea con il trattamento di Richard Stanley del metodo Transfer-Matrix in Enumerative Combinatorics, Volume 1 (link: pp 573; stampa: pp 500).

Comincia con la funzione generatrice e la disimballa considerando digrafi e fattori consentiti e proibiti. Quindi si estrae dai monoidi liberi, dove usa una versione raffinata delle somme che hai dato per dimostrare:

4.7.11 Proposizione Sia un sottoinsieme di che genera liberamente . Quindi $B$ $A^*$ $B$ $B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

Dopo aver esaminato alcune applicazioni, allo stesso modo chiude la sezione discutendo dei prodotti Hadamard in relazione ai poliomino convessi orizzontalmente.

— JSS
fonte

Puoi indicare un teorema nel testo di Stanley che fornisce stime asintotiche?

— Yuval Filmus,

Non riesco a trovare alcun riferimento immediato ed esplicito a Stanley, ma Flajolet e Sedgewick riconoscono la sua influenza sul loro trattamento del metodo della matrice di trasferimento nella sezione V.6. In particolare, Corollary V.1 comprende i teoremi precedenti (V.7, V.8) che sembrano seguire il tuo ragionamento. Sembrano anche seguire lo schema di Stanley a partire dalla sottosezione V.5, in cui la proposizione V.6 corrisponde al teorema di Stanley 4.7.2 e al corollario 4.7.3

— JSS,

Quello che sto specificamente cercando è l'analisi asintotica. La formula esatta per il numero di parole di una determinata lunghezza, data dal metodo della matrice di trasferimento, è ciò che dò per scontato.

— Yuval Filmus,