Lingue regolari planari

Nella mia classe uno studente ha chiesto se tutti gli automi finiti potevano essere disegnati senza attraversare i bordi (sembra che tutti i miei esempi lo facessero). Naturalmente la risposta è negativa, l'automa ovvio per la lingua $\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$ ha la struttura di $K_5$ , il grafico completo su cinque nodi . Yuval ha mostrato una struttura simile per una lingua correlata.

La mia domanda è la seguente: come possiamo dimostrare che ogni automa a stati finiti per questa lingua non è planare? Con le caratterizzazioni come Myhill-Nerode probabilmente si può stabilire che la struttura del linguaggio è presente nel diagramma, ma come possiamo renderlo preciso?

E se ciò può essere fatto, esiste una caratterizzazione di "lingue regolari planari"?

Non è vero che ogni DFA per questa lingua non sia planare:

Ecco un linguaggio veramente non planare:

$$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$$ Prendi qualsiasi FSA planare per questa lingua. Se rimuoviamo tutti gli stati non raggiungibili, otteniamo comunque un grafico planare. Ogni stato raggiungibile ha sei spigoli distinti in uscita, il che contraddice il fatto noto che ogni grafico planare ha un vertice di grado al massimo cinque.

Il concetto è stato studiato in precedenza. (Una volta che conosci la risposta, cercala su Google ...)

Per prima cosa c'è un vecchio lavoro di Book e Chandra, con il seguente abstract.

Sommario. Viene mostrato che per ogni automa a stati finiti esiste un automa non deterministico equivalente con un grafico a stati planari. Tuttavia esistono automi a stati finiti senza automa deterministico equivalente con un grafico a stati planari.

L'esempio e l'argomentazione forniti sono esattamente quelli di Yuval nella sua risposta!

Inoltre considerano anche l'alfabeto binario.

Esiste un automa deterministico intrinsecamente non piano a 35 stati su un alfabeto di 2 lettere.

Questo lavoro è continuato piuttosto recentemente da Bonfante e Deloup. Considerano gli incastellamenti topologici. Informalmente il genere di un grafico è il numero di fori che devono essere aggiunti per incorporare il grafico in una superficie senza bordi incrociati. I grafici con il genere zero sono planari. Quindi il genere di una lingua è il genere minimo degli automi per la lingua.

Teorema 9 (Gerarchia basata sul genere). Esistono lingue regolari di genere arbitrariamente grande.

Nella sezione "Automi stato-minimale contro automi genere-minimo" si trova il risultato, la cui dimostrazione è il primo esempio dato da Yuval (dieci stati per rendere planare il linguaggio K5 a cinque stati).

Proposizione 7. Esistono automi deterministici con un genere strettamente inferiore al genere del loro automa minimo corrispondente.

G.Bonfante, F.Deloup: Il genere delle lingue regolari, Strutture matematiche in informatica, 2018. doi 10.1017 / S0960129516000037 . Anche ArXiv 1301.4981 (2013)

RV Book, AK Chandra, Inherently Nonplanar Automata, Acta informatica 6 (1976) doi 10.1007 / BF00263745