Come costruire praticamente grafici di expander regolari?

Ho bisogno di costruire un grafico di espansione d-regolare per alcuni piccoli d fissi (come 3 o 4) di n vertici.

Qual è il metodo più semplice per farlo in pratica? Costruire un grafico d-regolare casuale, che ha dimostrato di essere un espansore?

Ho anche letto delle costruzioni Margulis e dei grafici Ramanujan che sono espansori e una costruzione che utilizza un prodotto a zig-zag. Wikipedia offre una panoramica piacevole ma molto breve: http://en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph#cite_note-10 Ma quale metodo scelgo in pratica?

Per me, questi metodi sembrano tutti molto complicati da implementare e in particolare da capire e forse abbastanza specifici. Non ci sono metodi più semplici, forse basati su permutazioni o giù di lì, per generare praticamente una sequenza di grafici a espansione d-regolare?

È forse più semplice costruire grafici di espansori bipartiti d-regolari?

Ho anche un'altra domanda: che dire delle famiglie di cattivi espansori d-regular? Questa nozione ha senso? Si può costruire una famiglia di grafici d-regolari (che sono ovviamente collegati) che è il più brutto possibile nel senso di un espansore?

Grazie in anticipo.

— user2145167
fonte

Ci sono costruzioni esplicite più facili di quelle che hai elencato, ma i grafici casuali dovrebbero fare il trucco e avere parametri migliori.

— Yuval Filmus,

Puoi forse dare nomi o riferimenti alle costruzioni? Con parametri migliori, intendi un'espansione (edge) migliore, immagino?

— user2145167

András ha dato l'esempio che avevo in mente, ma in generale i grafici casuali sono (quasi sempre) migliori delle costruzioni esplicite. Non solo l'espansione del bordo è più grande, ma qualsiasi altra proprietà simile che è utile per il tuo algoritmo è probabilmente soddisfatta automaticamente da grafici casuali.

— Yuval Filmus,

Ok, per il grado 3, l'esempio di András o i grafici casuali sembrano essere abbastanza buoni per la mia applicazione. Sarebbe interessante, in particolare per quanto riguarda i grafici casuali, costruire una famiglia di grafici a 3 reg che non sia un espansore. Ma questo è probabilmente molto difficile o impossibile?

— user2145167

Prendi un'unione di

s. Se vuoi un grafico collegato, rimuovi un bordo da ogni

(formando un grafico noto come il grafico a diamante) e collegali in un ciclo.

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

— Yuval Filmus,

Risposte:

Se non ti dispiace i grafici con auto-loop, la famiglia di espansori "più semplice" è probabilmente questa, che offre espansori 3-regolari.

Inizia con qualche numero primo e costruisci vertici numerati da a . Per ogni vertice , collegare per e , modulo . Collegarsi anche all'unico vertice tale che $p$ $0$ $p-1$ $u \ne 0$ $u$ $u-1$ $u+1$ $p$ $u$ $v$ . $uv \equiv 1 \mod p$

Ad esempio, il grafico a 7 vertici della famiglia è un ciclo a 7 con vertici numerati in sequenza lungo il ciclo; ci sono self-loop su , e ; infine, ci sono accordi che uniscono e e e . $6$ $0$ $1$ $3$ $5$ $2$ $4$

Vedi /mathpro/124708/an-expander-graph per ulteriori discussioni e riferimenti. Ci sono molti suggerimenti più dettagliati cercando "expander" su CSTheory , Math.SE e MO .

Come sottolinea Yuval Filmus, è probabile che la costruzione casuale dia risultati migliori in generale, ma ovviamente potrebbe non produrre un espansore (specialmente per i piccoli grafici).

— András Salamon
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Grazie per l'osservazione. Avevo cercato espansori prima su altri siti ma non su MO, sembra che ci siano davvero più risultati.

— user2145167

Dato un grafico casuale casuale è un whp di espansione (seguire il riferimento riportato nella documentazione del codice MATLAB collegato di seguito), una volta ho usato il seguente:

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29786-random-regular-generator/content/randRegGraph/createRandRegGraph.m

— hoda
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