Dimostrando che la lingua è regolare o non regolare

Sia un linguaggio regolare. Prova che: $L$

$L_{+--}=\left\{w: \exists_u |u|=2|w| \wedge wu\in L\right\}$

$L_{++-}=\left\{w: \exists_u 2|u|=|w| \wedge wu\in L \right\}$

$L_{-+-}=\left\{w:\exists_{u,v} |u|=|w|=|v| \wedge uwv\in L\right\}$

sono regolari e:

$L_{+-+}=\left\{ uv:\exists_w |u|=|w|=|v| \wedge uwv\in L \right\}$

non è regolare.

Mi sembra molto difficile. Suppongo che 1-3 siano simili (ma potrei sbagliarmi), ma non so come avvicinarmi. L'idea generale è di solito di modificare la macchina a stati finiti affinché accetti un'altra lingua. Ma quelle costruzioni sono spesso molto sofisticate e non riesco ancora a pensarci da solo. $L$

regular-languages

— Xan
fonte

possibile duplicato di Come dimostrare che una lingua non è regolare?

— Bartosz Przybylski,

Non sono sicuro che le tue affermazioni siano corrette perché, secondo il teorema di Myhill-Nerode, le prime tre lingue hanno infinite classi di equivalenza! per la prima: prendi essere l'i-esimo in e sia la (i + 1) -esima parola, quindi per ogni io puoi scegliere per mostrare che esiste un parola che separa le classi di e

w_{i}

$w_i$

L_{+ - -}

$L_{+--}$

w_{i + 1}

$w_{i+1}$

u_{i}

$u_i$

w_{i}

$w_i$

w_{i + 1}

$w_{i+1}$

— Fayez Abdlrazaq Deab

@Fayez Cosa succede se, ad esempio, ? Quindi ha solo una classe di equivalenza. Vai oltre la prova e vedi cosa non va.

L = Σ^{*}

$L=\Sigma^*$

L_{+ - -} = Σ^{*}

$L_{+--} = \Sigma^*$

— Yuval Filmus

@Bartek e tutti gli altri che votano per chiudere: metà della domanda riguarda in realtà la prova che determinate operazioni sulle lingue conservano la proprietà di essere regolari.

— Yuval Filmus

Ecco una prova che la lingua è regolare. Può essere modificato per mostrare che i primi tre del tuo elenco sono regolari. (Nota che ho cambiato in .) Dato un DFA per , costruiamo un NFA per . La prima cosa che fa NFA è indovinare (prendere una mossa ) uno stato , la cui semantica prevista è lo stato in cui il DFA per finisce dopo aver letto . Quindi esegue simultaneamente due copie del DFA per , una che inizia nello stato iniziale e l'altra che inizia in . Alla lettura di un simbolo $L_0 = \{ w : \exists_u |u|=|w| \land uw \in L \}$ $wu$ $uw$ $L$ $L_0$ $\epsilon$ $q$ $L$ $u$ $L$ $q$ $a$ , si muove secondo un simbolo arbitrario sul primo e si muove secondo sul secondo. Uno stato accetta se la prima copia è nello stato e la seconda è in uno stato accettante. $a$ $q$

Per l'ultimo, considera la lingua e interseca con . $L= a^+ b^+ c^+$ $L_{+-+}$ $a^+ c^+$

— Yuval Filmus
fonte

Non lo vedo. , che è chiaramente una lingua normale. Ma suppongo di sbagliarmi :) Puoi indicarmi la giusta direzione?

L = a^{+} b^{+} c^{+} \Rightarrow L_{+ - +} \cap a^{+} c^{+} = {a^{n} c^{m} : n + m \equiv_{2} 0}

$L=a^+b^+c^+ \Rightarrow L_{+-+} \cap a^+c^+=\left\{ a^n c^m: n+m\equiv_2 0 \right\}$

— xan,

Sono riuscito a modificare la tua costruzione di e persino a rimuovere le mosse di modo che diventi più elegante (secondo me). Quindi i primi tre problemi sono stati risolti e grazie per quello! :) Ma l'unica cosa che ti chiedo è di chiarire quella finale e le mie preoccupazioni nel commento sopra. Sarei molto grato.

L_{0}

$L_0$

ε

$\varepsilon$

— xan,

Quando computo ottengo qualcos'altro. Nota che ogni parola in deve contenere a .

L_{+ - +} \cap a^{+} c^{+}

$L_{+-+} \cap a^+ c^+$

L

$L$

b

$b$

— Yuval Filmus

Spiacenti, ma non so come calcolare . Suppongo che il risultato sia che ci dia quello che vogliamo, ma non so proprio come giustificarlo.

L_{+ - +} \cap a^{+} c^{+}

$L_{+-+}\cap a^+c^+$

{a^{n} c^{n} : n \in N}

$\left\{ a^n c^n: n\in\mathbb{N}\right\}$

— xan,

Ok, ora posso vedere :-)

— 1313