Esempio di un linguaggio privo di contesto che può comunque essere pompato?

Quindi sostanzialmente L soddisfa le condizioni del lemma di pompaggio per i CFL ma non è un CFL (ciò è possibile secondo la definizione del lemma).

formal-languages context-free pumping-lemma

— user2329564
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È una domanda da fare a casa o sei solo curioso?

— Yuval Filmus,

Questo non è un compito, ma mi aspetto di vederlo nell'esame (solo un sospetto, conoscendo il mio professore). E sono sempre curioso :)

— user2329564,

Avevamo una domanda simile, ma per le lingue normali . Si applica lo stesso tipo di costruzione: prendi un simbolo speciale

e considera

per una lingua cattiva

$

$\$$

$ K \cup {$^{k} ∣ k \neq 1} {a, b}^{*}

$\$K \cup \{ \$^k \mid k \neq 1\}\{a,b\}^*$

K \subseteq {a, b}^{*}

$K\subseteq \{a,b\}^*$

— Hendrik Jan

Risposte:

L'esempio classico è . Spettacoli saggi nel suo articolo Un forte lemma di pompaggio per linguaggi senza contesto che né il lemma di pompaggio di Bar-Hillel né il teorema di Parikh (affermando che l'insieme delle lunghezze di parole in un linguaggio senza contesto è semi-lineare) può essere usato per dimostrare che non è privo di contesto. Anche altri trucchi come l'incrocio con una lingua normale non aiutano. (Il lemma di Ogden, una generalizzazione del lemma di pompaggio di Bar-Hillel, dimostra che $L = \{ a^i b^j c^k : i,j,k \text{ all different} \}$ $L$ $L$ non è privo di contesto.) Fornisce anche un lemma di pompaggio alternativo che equivale alla mancanza di contesto (per i linguaggi calcolabili) e lo usa per dimostrare che non è privo di contesto. $L$

Di saggi pompaggio lemma afferma che un linguaggio è se e senza contesto solo se v'è una (limitata) grammatica generatrice e un intero tale che ogni volta genera una "forma sentenziale" (così possono includere non-terminali) di lunghezza , possiamo scrivere dove non sono vuoti, $L$ $G$ $L$ $k$ $G$ $s$ $s$ $|s| > k$ $s = uvxyz$ $x,vy$ $|vxy| \leq k$ , E v'è un non terminale tale che genera e genera sia ed . $A$ $G$ $uAz$ $A$ $vAy$ $x$

Applicando ripetutamente la condizione nel lemma, Wise è in grado di dimostrare che non è privo di contesto, ma i dettagli sono alquanto complicati. Dà anche una condizione equivalente ancora più complicata e la usa per dimostrare che la lingua non può essere scritta come intersezione finita di linguaggi senza contesto. $L$ $\{ a^n b a^{nm} : n,m > 0 \}$

Se non riesci ad accedere al documento di Wise (è dietro un paywall), c'è una versione dattiloscritta che è uscita come un rapporto tecnico dell'università dell'Indiana.

Un linguaggio non privo di contesto che soddisfa le condizioni di pompaggio del lemma di Ogden è dato da Johnsonbaugh e Miller, Converse di pompare i lemmi , e attribuito lì a Boasson e Horvath, su linguaggi che soddisfano il lemma di Ogden . La lingua in questione è Possiamo scrivere

\begin{aligned} L^{'} & = ⋃_{n \geq 1} (e^{+} a^{+} d^{+})^{n} (e^{+} b^{+} d^{+})^{n} (e^{+} c^{+} d^{+})^{n} \\ \cup (a + b + c + d) Σ^{*} \cup Σ^{*} (a + b + c + e) \cup Σ^{*} (e d + d (a + b + c) + (a + b + c) e) Σ^{*} . \end{aligned}

$\begin{align*} L' &= \bigcup_{n \geq 1} (e^+a^+d^+)^n(e^+b^+d^+)^n(e^+c^+d^+)^n \\ &\cup (a+b+c+d)\Sigma^* \cup \Sigma^*(a+b+c+e) \cup \Sigma^*(ed+d(a+b+c)+(a+b+c)e)\Sigma^*. \end{align*}$

, corrispondente alle due diverse linee. Notare che

e che

è regolare. Il lemma di Ogden può essere usato per dimostrare che

non è privo di contesto, e quindi nemmeno

, ma non può essere usatodirettamenteper dimostrare che

non è privo di contesto.

L^{'} = L_{1} \cup L_{2}

$L' = L_1 \cup L_2$

L_{1} \cap L_{2} = \emptyset

$L_1 \cap L_2 = \emptyset$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L^{'}

$L'$

L^{'}

$L'$

— Yuval Filmus
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Non è necessario che ci sia almeno una produzione simile a questa: A -> sententialForm1 A sententialForm2 per rendere possibile qualsiasi pompaggio

— user2329564

Beh, più in generale: non è necessario che una B non terminale faccia parte di una forma sentenziale derivabile da A tale che B-> sententialForm1.B.sententialfrom2 sia una produzione di G. Altrimenti come sarebbe certo che una parola di un lunghezza arbitraria può essere pompata da A.

— user2329564

Non vedo perché, abbiamo una produzione

, che corrisponde al pompaggio. Ad esempio, recuperi immediatamente il lemma di pompaggio poiché

A \Rightarrow^{+} v A y

$A \Rightarrow^+ vAy$

S \Rightarrow^{*} u A z \Rightarrow^{*} u v^{i} A y^{i} z \Rightarrow^{*} u v^{i} x y^{i} z

$S \Rightarrow^* uAz \Rightarrow^* uv^iAy^iz \Rightarrow^* uv^ixy^iz$

— Yuval Filmus,

Sembra una bella aggiunta al nostro riferimento .

— Raffaello

Un'altra cosa che manca è la chiusura sotto "mappature inverse di gsm", vedi planetmath.org/generalizedsequentialmachine . Forse li aggiungerò ad un certo punto.

— Yuval Filmus,

$\{a^m b^n c^n d^n\colon m \ge 1, n \ge 1\}$ $a$ s; intersection with the regular $\mathcal{L}(a b^+ c^+ d^+)$ gives a non-CFL (and that can be proved by pumping lemma).

— vonbrand
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This will be a nice addition to the third homework... muahaha

— Renato Sanhueza

I don't think this is right. If the language starts with only one

a

$a$ , then if you try to pump the

a

$a$ you have to account for the fact that

a^{0}

$a^0$ must also be in the language.

— MCT

To expand on MCT's comment: consider the word

a b^{p} c^{p} d^{p}

$ab^pc^pd^p$ ; choose

v = a

$v=a$ ,

u = w = x = ε

$u=w=x=\varepsilon$ ,

y = b^{p} c^{p} d^{p}

$y=b^pc^pd^p$ . Then, for

i = 0

$i=0$ ,

u v^{i} w x^{i} y

$uv^iwx^iy$ is not in the language, as it doesn't start with an a, so the lemma doesn't hold.

— potestasity

A simple language is $\{a b^n c^n d^n \colon n \ge 1\} \cup \mathcal{L}(a a^+ b^+ c^+ d^+)$ . Intersect with $\mathcal{L}(a b^+ c^+ d^+)$ to get a clearly non-CFL, but you can always pump the $a$ , and mimetize the equal-length-ness in the sea of ${}^+$ .

— vonbrand
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Wise's example is (apparently) immune to these techniques as well, or so he claims.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus, so it seems. But my example is immune to professors doubting you understood Wise's paper, or wanting a complete proof that it isn't a CFL in the 2-hour limit of the exam ;-)

— vonbrand