Il problema dell'universo per gli automi a un contatore con dimensioni alfabetiche limitate è indecidibile?

Considera il seguente problema dell'universo .

Il problema dell'universo. Dato un set finito per una classe di lingue e un automa che accetta la lingua , decidere se .$\Sigma$$L$$L=\Sigma^*$

In [1], si afferma e si dimostra che il problema dell'universo è indecidibile per una particolare classe di automi a un contatore. Questo risultato segue quindi per la classe di tutti gli automi a un contatore non deterministici. Mi chiedo se è noto se questo problema è ancora indecidibile quando limitiamo la dimensione dell'alfabeto di input dell'automa.

Penso che con la dimensione dell'alfabeto 1 il problema diventi decidibile, ma per quanto riguarda la dimensione 2? E se questo risulta essere decidibile qual è il valore più piccolo di tale che il problema è indecidibile.$n \in \mathbb{N}$

Penso che sia probabile che la risposta a questa domanda sia nota ma ho problemi a trovare una risposta. Se è già noto, apprezzerei un riferimento.

[1] Ibarra, OH (1979). Macchine con un contatore limitato con problemi universali indecidibili. Teoria dei sistemi matematici, 13 (1), 181-186

Deve essere indecidibile per un alfabeto con due simboli. È possibile codificare qualsiasi alfabeto in due lettere, ad es. Mappare 16 simboli sulla lunghezza 4 stringhe binarie$aaaa, aaab, \dots, bbbb$. Quindi l'uguaglianza a$\Sigma^*$equivale all'uguaglianza di tutti i possibili codici per le stringhe. Nell'esempio di 16 lettere questo significa uguaglianza con tutte le stringhe di un multiplo di quattro lettere. Chiaramente questa non è universalità. Ciò si ottiene aggiungendo quelle stringhe binarie che non codificano. Questo è un set regolare e può essere generato da un automa a un contatore.

La stessa spiegazione, con $\LaTeX$per chi lo apprezza. Supponiamo che l'universalità sia indecidibile per$\Sigma$. Permettere$h: \Sigma^* \to \{0,1\}^*$essere un morfismo iniettivo. Adesso$L = \Sigma^*$ se e solo se $h(L) = h(\Sigma^*)$. Questo a sua volta equivale a$h(L) \cup R = \{0,1\}^*$ dove $R$ è la lingua (fissa) normale $\{0,1\}^* - h(\Sigma^*)$. Quindi non possiamo decidere se la contro lingua binaria $h(L) \cup R$è universale. Nota che la lingua è un contatore in quanto la famiglia è chiusa sotto morfismi e unione (con lingue regolari).

Mentre affermi "Penso che" posso anche confermare che la domanda è decidibile per un alfabeto di una lettera. È decidibile per gli automi push-down (quindi le lingue senza contesto) in quanto una lettera CFL è (effettivamente) equivalente alle lingue normali.