Calcolo della funzione di castoro occupato

La funzione turni massimi del castoro occupato, , ha valori noti per . C'è qualche ragione di base e strutturale per cui è inconcepibile che troveremo mai per ? Cosa c'è di così diverso in di ? O ? Da qualche parte lungo la strada ci deve essere una differenza fondamentale, altrimenti sarebbe, in linea di principio, calcolabile per tutte le , quindi cosa esattamente $S(n)$ $n\leq4$ $S(n)$ $n>4$ $n=4$ $n=5$ $n=6$ $S(n)$ $n$ è questa differenza?

computability busy-beaver

— PeteyPabPro
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Risposte:

La ragione per cui nessun programma può calcolare è che se sapessi quale potresti decidere il problema di arresto, sapresti quando smettere di aspettare. D'altra parte, per ogni esiste un programma che calcola per tutti - utilizza solo una tabella. $S(n)$ $S(n)$ $m$ $S(n)$ $n \leq m$

Se fosse possibile dimostrare il valore di per tutti (cioè per tutti potremmo dimostrare per alcuni ) allora potremmo calcolare cercando tra tutte le prove ( questo presuppone che il nostro sistema di prova sia valido). Quindi per ogni sistema di prova esiste un valore minimo di per il quale non è possibile dimostrare che per qualsiasi . $S(n)$ $n$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$ $S(n)$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$

Infine, il motivo per cui conosciamo è probabilmente perché è un numero veramente piccolo. Il numero è leggermente più grande e quindi le cose si complicano. Non esiste una ragione profonda per cui conosciamo ma non , proprio come non esiste una ragione profonda per cui conosciamo il numero Ramsey ma non (sebbene i numeri Ramsey siano ovviamente calcolabili) . $S(4)$ $4$ $5$ $S(4)$ $S(5)$ $R(4)$ $R(5)$

— Yuval Filmus
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Grazie. Il paragrafo centrale era essenzialmente quello che mi chiedevo (ed è una prova di Godel, giusto?). Quindi in realtà potrebbe essere che

abbia una prova nel nostro sistema formale, ma

no.

S (4)

$S(4)$

S (5)

$S(5)$

— PeteyPabPro

Presumibilmente. Se

non è dimostrabile ma è vero che anche

è dimostrabile, e quindi abbiamo un'affermazione che non può essere né dimostrata né smentita.

S (n) = " S (n) "

$S(n)=\text{"}S(n)\text{"}$

S (n) \neq " S (n) "

$S(n)\neq\text{"}S(n)\text{"}$

— Yuval Filmus,

Non hai ancora spiegato perché possiamo essere così sicuri che S (4) sia corretto, mentre S (5) o superiore non lo sapremo mai. È perché non siamo al 100% su S (4), ma solo "quasi quasi" sicuro?

— Dan W

Siamo sicuri al 100% di S (4). Non credo ci sia una ragione profonda dietro la nostra ignoranza riguardo a S (5). È solo il limite attuale delle nostre conoscenze.

— Yuval Filmus,

Credo che ci sia un sistema di prova davvero forte e una macchina turing a colori a 6 stati 2 in modo tale che possa essere provato che non esiste alcuna prova in quel sistema che non si fermerà mai e non si fermerà prima di qualsiasi algoritmo che possa essere provato in quel sistema all'interno di un personaggio googol per fermare eventualmente le soste.

— Timothy,

$n$ $S(n)$

— PeteyPabPro
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Potresti citare la parte rilevante?

— Evil

un altro punto di vista, con uno schizzo informale di una risposta, che richiederebbe molto tempo per approfondire tecnicamente con ulteriori ricerche (cioè è fondamentalmente un programma di ricerca): ci sono alcune prove preliminari che il limite di ciò che è calcolabile sul Castoro impegnato La funzione è una misura della complessità dell'algoritmo, con due riferimenti sotto che suggeriscono questa direzione. [1] [2] all'incirca, piccole TM con pochissimi stati non possono realizzare "comportamenti tanto" o "sofisticati" come algoritmi più complessi con più stati. pertanto il suo calcolo sembra anche avere un legame profondo con la complessità di Kolmogorov . [3] Un altro modo di vedere questo è che ciò che è noto / calcolabile sulla funzione Busy Beaver coincide strettamente con lo stato dell'arte nel teorema automatizzato proving, che (simile all'avanzamento tecnologico) è una frontiera in costante avanzamento basata sulla ricerca matematica e informatica.

[1] Problema di castori indaffarati, un nuovo attacco millenario , van Heuveln et al

[2] Piccole macchine di Turing e concorrenza generalizzata di castori indaffarati , Michel

[3] In fase di esecuzione dei problemi più brevi , Batfai

— VZN
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