Assegnazione numero

Dati numeri tali che esiste un'assegnazione dei numeri che è una permutazione di tale che $k$ $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ $1, 2, ... , 2k$

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

Non riesco a trovare un algoritmo efficiente e questo risolva questo problema. Sembra essere un problema combinatorio. Non sono riuscito a trovare un simile problema NP-Complete. Questo problema sembra un problema NP-Complete noto o può essere risolto con un algoritmo polinomiale?

np-complete decision-problem

— Gprime
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Hai fatto progressi sul problema?

— Yuval Filmus,

Ho dimenticato di dire che

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime

Problema correlato , anche senza una risposta soddisfacente. (Potrebbe non essere chiaro a prima vista come siano correlati, ma se , il problema equivale a trovare una permutazione di modo che .

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— Peter Shor,

Risposte:

Questo problema è fortemente NP-completo.

Supponiamo che tutti gli siano dispari. Quindi sappiamo che poiché è dispari, uno di e è pari e l'altro è dispari. Possiamo supporre che sia dispari e sia pari. Lasciando e , possiamo dimostrare che ciò equivale a chiedendo due permutazioni, e , dei numeri tali che . $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

Questo problema è noto per essere NP-completo; vedere questo problema cstheory.se e questo articolo di W. Yu, H. Hoogeveen e JK Lenstra a cui si fa riferimento nella risposta.

— Peter Shor
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Ecco un suggerimento per iniziare: poiché la somma di tutti i numeri da a è esattamente , una soluzione è possibile solo se in realtà , e così via . Quindi, dato , conosciamo e così via. Inoltre, . $1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— Yuval Filmus
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Quindi, come dovrei scegliere per cominciare? Non vedo la soluzione. Ma grazie per la proprietà

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

— gprime

Se gli sono ordinati, conosciamo , , e così via. Questi criteri, insieme a , sono sufficienti? In tal caso, potrebbe esserci un semplice algoritmo per questo problema.

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

— Peter Shor,

Sì, sono ordinati. Proverò ad usare questo ...

— gprime

@PeterShor Devi anche considerare i limiti dalla direzione opposta, cioè , e così via. Osservando il problema aneddoticamente, sembra che un semplice algoritmo avido dovrebbe scoprire le soluzioni quando esistono e fallire proprio quando non lo fanno - ma ho problemi a dimostrarlo.

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

— torquestomp

@torquestomp: Stai sollevando un buon punto. In effetti, i limiti da una direzione implicano anche i limiti dall'altra, ma questo non è affatto ovvio a prima vista. Ho esaminato un problema simile e non sono riuscito a capire un semplice algoritmo (ma mi sembrava anche che l'analogo di questi criteri fosse effettivamente sufficiente).

— Peter Shor,

È un problema di corrispondenza e quindi può essere risolto usando l'algoritmo di Edmond. Vedi Wikipedia

— Volontà
fonte

L'idea di Stackexchange è di avere una domanda e risposta che sia il più completa ragionevolmente possibile. Saresti in grado di espandere la tua risposta per essere più di un semplice link a Wikipedia?

— Luke Mathieson,

Puoi elaborare? Non riesco a vedere come posso usare quegli algoritmi per risolvere la mia domanda.

— gprime,

In realtà, a me sembra un caso speciale di 3-matching, che è NP-completo. Ciò non significa che il problema dei PO sia NP-completo.

— Peter Shor,

Potrebbe essere forse una corrispondenza bipartita? Esaminerò la corrispondenza 3 per vedere se riesco a capirlo. Grazie!

— gprime,