A cosa servono i reticoli?

Wikipedia dice :

I reticoli completi appaiono in molte applicazioni in matematica e informatica

Si riferisce solo al fatto che l'algebra booleana standard utilizzata nel calcolo è un reticolo completo? C'è qualcosa che guadagniamo lavorando a livello astratto di reticoli anziché specificamente con la logica booleana?

Una ricerca su Google non trova molto sull'argomento, ma probabilmente sto usando parole chiave sbagliate.

Vedi ad esempio questo libro: Lattice Theory with Applications, Vijay K. Garg , che inizia come segue:

L'ordine parziale e la teoria reticolare svolgono ora un ruolo importante in molte discipline dell'informatica e dell'ingegneria. Ad esempio, hanno applicazioni nel calcolo distribuito (clock vettoriali, rilevamento di predicato globale), teoria della concorrenza (pomset, reti di occorrenza), semantica del linguaggio di programmazione (semantica a virgola fissa) e data mining (analisi del concetto). Sono utili anche in altre discipline della matematica come la combinatoria, la teoria dei numeri e la teoria dei gruppi. In questo libro, introduco importanti risultati nella teoria degli ordini parziali insieme alle loro applicazioni nell'informatica. Il pregiudizio del libro è sugli aspetti computazionali della teoria dei reticoli (algoritmi) e sulle applicazioni (specialmente i sistemi distribuiti).

Il libro non sembra menzionare la teoria della ricorsione (teoria degli insiemi calcolabili), ma dall'articolo di Wikipedia sulla teoria della computabilità , vediamo:

Quando Post ha definito la nozione di un set semplice come un re set con un complemento infinito che non contiene alcun re set infinito, ha iniziato a studiare la struttura degli insiemi ricorsivamente enumerabili inclusi. Questo reticolo divenne una struttura ben studiata. Gli insiemi ricorsivi possono essere definiti in questa struttura dal risultato di base che un insieme è ricorsivo se e solo se l'insieme e il suo complemento sono entrambi enumerabili ricorsivamente. Gli insiemi infiniti hanno sempre infiniti sottoinsiemi ricorsivi; ma d'altra parte, esistono insiemi semplici ma non hanno un superset ricorsivo coinfinito. Post (1944) introdusse insiemi già ipersemplici e iperipersemplici; sono stati costruiti insiemi massimi successivi che sono reimpostazioni in modo tale che ogni reimpostazione sia una variante finita dell'insieme massimo dato o sia co-finita. Inviare' La motivazione originale nello studio di questo reticolo era quella di trovare una nozione strutturale tale che ogni set che soddisfa questa proprietà non è né nel grado di Turing degli insiemi ricorsivi né nel grado di Turing del problema di arresto. Post non ha trovato una tale proprietà e la soluzione al suo problema ha invece applicato metodi prioritari; Harrington e Soare (1991) alla fine hanno trovato una tale proprietà.

Ulteriori letture, vedere il post sul blog Lattice Theory for Programmers and Non Computer Scientists .

I riferimenti forniti da Pål GD sono davvero molto appropriati. Quindi concentriamoci su un problema secondario minore in questa risposta. Qualche tempo fa ho letto delle grate e ho iniziato a chiedermi se la nozione di semilattice non sarebbe stata più appropriata per le applicazioni. Potresti obiettare che anche un semi-reticolo completo è automaticamente anche un reticolo, ma gli omomorfismi e le sottostrutture (cioè le grate secondarie e le sottigliezze) sono differenti.

Ho incontrato per la prima volta (semi) reticoli quando studiavo i semigruppi, come semigruppi commutativi idempotenti. Poi ho pensato alla relazione tra strutture gerarchiche e reticoli e ho notato che un albero è naturalmente anche una semilattice. Poi ho trovato dei reticoli nei contesti di sicurezza e nell'analisi dei programmi, e mi è sempre sembrato che la struttura a semilattice fosse la parte davvero importante, e il reticolo è stato semplicemente preso perché poteva essere ottenuto "gratuitamente". Anche per un'algebra di Heyting, esiste un'asimmetria tra congiunzione e disgiunzione che mi suggerisce che il modello semilattico asimmetrico potrebbe fornire qui più informazioni rispetto al modello reticolare simmetrico.

un caso molto importante, ma non così famoso - è ben noto ai teorici ma non così noto nel senso di essere insegnato agli studenti universitari - dell'uso di un reticolo è dimostrare limiti inferiori superpolinomiali sulla dimensione dei circuiti monotoni Clique informatica per la quale Razborov ha vinto il premio Nevanlinna . la costruzione originale è tuttavia molto tecnica e le costruzioni successive, ad esempio Berg / Ulfberg, semplificano la struttura senza il riferimento ai reticoli.

quindi in questo caso la teoria reticolare è stata usata come struttura per scoprire la prova originale, ma in seguito le formulazioni tendevano a non riferirsi ad essa direttamente come una semplificazione concettuale.

quindi sì i reticoli possono essere considerati come un oggetto matematico più esotico [Razborov ha parlato altrove del suo stile di applicazione della matematica avanzata a CS] che potrebbe corrispondere a qualche altro oggetto più "concreto" in CS, in questo caso si tratta di "porte di approssimazione" cioè porte booleane in circuiti che danno risposte "approssimativamente corrette" e che il reticolo è una sorta di "struttura di induzione" per la conversione tra un circuito esatto in un circuito approssimativo, approssimativo.

Da allora ho trovato la documentazione gratuita Set ordinati e Lattici completi: un primer per l'informatica , per altri lettori interessati.

Le etichette dei bordi regolari e le strutture correlate formano un reticolo distributivo (vedere ad esempio qui ). Questo può essere sfruttato per cercare in modo efficiente nello spazio di tutte le normali etichette dei bordi per un dato grafico (vedi qui ). Come applicazione è possibile determinare se una mappa può essere disegnata come cartogramma con una determinata assegnazione di area per le facce.

Inoltre, sorprendentemente (almeno per me) la crittografia . Dai un'occhiata, consente nuovi attacchi di sistemi crittografici noti e dà speranze per la crittografia post-quantistica.