Come definire le macchine quantistiche di Turing?

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Nel calcolo quantistico, qual è il modello equivalente di una macchina di Turing? È abbastanza chiaro per me come si possano costruire circuiti quantici a partire da cancelli quantici, ma come possiamo definire una macchina quantistica di Turing (QTM) che può effettivamente beneficiare di effetti quantici, ovvero eseguire su sistemi ad alta dimensione?

quantum-computing turing-machines computation-models

— Suonò.
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Questa nota di Berkeley dà una risposta. www.eecs.berkeley.edu/~vazirani/f97qcom/lec19.ps

— Mohammad Al-Turkistany

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In realtà il modello dei circuiti quantistici e la macchina quantistica di turing sono equivalenti, come dimostrato da ACYao.

— Strin,

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^{( nota : la descrizione completa è un po 'complessa e ha diverse sottigliezze che ho preferito ignorare. Di seguito sono semplicemente le idee di alto livello per il modello QTM)}

Quando si definisce una macchina Quantum Turing (QTM), si vorrebbe avere un modello semplice, simile alla classica TM (cioè una macchina a stati finiti più un nastro infinito), ma consentire al nuovo modello il vantaggio della meccanica quantistica.

Analogamente al modello classico, QTM ha:

- un insieme finito di stati. Sia uno stato iniziale. $Q=\{q_0,q_1,..\}$ $q_0$
, - set di input / alfabeto di lavoro $\Sigma=\{\sigma_0,\sigma_1,...\}$ $\Gamma=\{\gamma_0,..\}$
un nastro infinito e una sola "testa".

$C=(q,T,i)$ $q\in Q$ $T\in \Gamma^*$ $i$

$\mathcal{H}$ $Q\times\Sigma^*\times \mathrm{Z}$ $C=(q,T,i)$

| C ⟩ = | q ⟩ | T ⟩ | i ⟩ .

$|C\rangle = |q\rangle |T\rangle |i\rangle.$ _$\Gamma$

$|\psi(0)\rangle = |q_0\rangle |T_0\rangle |1\rangle$ $T_0\in \Gamma^*$ $x\in\Sigma^*$

$U$

| ψ (i + 1) ⟩ = U | ψ (i) ⟩

$|\psi(i+1)\rangle = U|\psi(i)\rangle$

$n$ $|\psi(n)\rangle = U^n|\psi(0)\rangle$ $U$ $\langle q',T',i'|U|q,T,i\rangle$ $i'= i \pm 1$ $T'$ $T$ $i$

$q_f$

La cosa interessante da notare è che ogni "passaggio" dello stato del QTM è una sovrapposizione di possibili configurazioni, che conferisce al QTM il vantaggio "quantico".

La risposta si basa su Masanao Ozawa, On the Halting Problem for Quantum Turing Machines . Vedi anche David Deutsch, teoria quantistica, principio di Church-Turing e computer quantistico universale .

— Suonò.
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Non sono sicuro che la definizione originale di David Deutsch ottenga tutto corretto ... questa è stata la prima volta che qualcuno ha cercato di definirlo, e ci sono voluti alcuni perfezionamenti per capire la giusta definizione matematicamente precisa.

— Peter Shor,

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Come indicano le note, il modo per definire un QTM è definire la funzione di transizione come una trasformazione unitaria di stato e lettera. Quindi in ogni passaggio, immagini di moltiplicare il vettore (stato, lettera) per una trasformazione per ottenere un nuovo (stato, lettera). Non è particolarmente conveniente, ma può essere definito.

— Suresh
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