Una valutazione del calcolo lambda che coinvolge numeri della Chiesa

Capisco che un numero di chiesa assomigli a (... n volte ...) . Questo significa altro che "la funzione applicate volte alla funzione ". $c_n$ $\lambda s. \lambda z. s$ $s\;z$ $s$ $n$ $z$

Una possibile definizione della funzione è la seguente: . Guardando il corpo, capisco la logica dietro la funzione. Tuttavia, quando inizio a valutare, rimango bloccato. Lo illustrerò con un esempio: $\mathtt{times}$ $\mathtt{times} = \lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s)$

\begin{aligned} (λ m . λ n . λ s . m (n s)) (λ s . λ z . s s z) (λ s . λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) ((λ s . λ z . s s s z) s)) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) (λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . λ z . (λ z . s s s z) (λ z . s s s z) z \end{aligned}

$\begin{align*} (\lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s))(\lambda s.\lambda z.s\;s\;z)(\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z) \mspace{-4em} \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; ((\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z)\; s)) \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; (\lambda z.s\;s\;s\;z) \\ \to^*& \lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \end{align*}$

Ora in questa situazione, se per la prima volta applico , ottengo il risultato desiderato. Tuttavia, se applico primo, come dovrei perché l'applicazione è associativa da sinistra, ottengo un risultato sbagliato: $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z$ $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)$

$\lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \to \lambda s. \lambda z.(s\;s\;s\;(\lambda z.s\;s\;s\;z))\;\;z$

Non posso più ridurlo. Che cosa sto facendo di sbagliato? Il risultato dovrebbe essere $\lambda s. \lambda z.s\;s\;s\;s\;s\;s\;z$

lambda-calculus church-numerals

— Codd
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I numeri della Chiesa nel tuo termine iniziale non sono corretti. 2 è rappresentato da , non .

λ s . λ z . s (s z)

$\lambda s. \lambda z. s (s z)$

λ s . λ z . s s z

$\lambda s. \lambda z. s s z$

— Uday Reddy,

Penso che la tua riduzione sia corretta (l'ho solo osservata, però). Alla fine, non puoi applicare a , questo non appare mai nel termine. è , non . Le funzioni nel calcolo lambda accettano un singolo argomento; sono effettivamente curry $(\lambda z. s s s z)$ $z$ $\lambda z. f f z$ $\lambda z. (f f) z$ $\lambda z. f (f z)$ : una funzione a due argomenti viene implementata come una funzione a argomento singolo che accetta il primo argomento e restituisce una nuova funzione a argomento singolo che accetta il secondo argomento e restituisce il risultato.

$n$ $n$ $s$ $n$ $z$ $\lambda s. \lambda z. s (s ( … s \: z) … ))$ $s$ $n-1$ $s$ $z$

$2 \times 3$ $(\lambda m n s. m (n s)) (\lambda s z. s (s \: z)) (\lambda s z. s (s (s \: z)))$ $\lambda s z. s (s (s (s (s (s \: z)))))$

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
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Per quanto riguarda il tuo paragrafo, hai ragione e ne ero consapevole. Mi ha solo colpito il fatto che l'applicazione giusta associativa ha prodotto il risultato giusto. Per quanto riguarda il secondo paragrafo: hai ragione. L'uso di nessuna parentesi graffa è stato errato da parte mia, sempre a causa dell'associatività sinistra dell'applicazione. Ridurrò di nuovo tutto ora e vedrò se la mia mancanza di parentesi graffe ha causato il mio errore!

— codd

Lo ha fatto. Stai notando che la mia notazione implicava un ordine di applicazione errato risolto il problema! Accettare la tua risposta

— codd