Definisci l' equivalenza di Nerode su una lingua come iff per ogni .$L \subseteq \Sigma^{*}$$u \sim_L v$$uw \in L \Leftrightarrow vw \in L$$w \in \Sigma^{*}$

L'equivalenza di Nerode ha finitamente molte classi di equivalenza proprio quando può essere riconosciuta da un automa a stati finiti. Questo è il teorema di Myhill-Nerode .${\sim}_L$$L$

Esiste una caratterizzazione simile delle lingue senza contesto?

Motivazione:

Le classi di equivalenza Nerode ciascuno corrispondente a uno stato distinti in qualsiasi automa che riconosce . Ogni CFL può essere riconosciuto da un NPDA, che ha un numero finito di stati ma anche una pila potenzialmente illimitata di simboli alfabetici. Lo stack tiene traccia di un possibile modo in cui una stringa può essere analizzata. Il numero di classi di equivalenza può essere infinito poiché lo stack può memorizzare un numero illimitato di simboli.$L$

Sto chiedendo: c'è sempre un modo per raggruppare insieme le classi di equivalenza in modo che ogni gruppo rappresenti uno stato del PDA, con ogni classe all'interno del gruppo che rappresenti stati equivalenti dello stack per quello stato PDA?

Ad esempio, il linguaggio delle parentesi nidificate correttamente necessita solo di stati da gestire pope push, poiché lo stack terrà traccia dell'attuale profondità di annidamento. Se tale agglomerato può sempre essere fatto, allora se il numero di ammassi è finito determina se la lingua è senza contesto.

Come sottolineato da @sdcvvc in un commento, una forma di questa domanda è stata posta come /math/118362 sebbene la risposta di Yuval Filmus alla domanda correlata in Esempio di un linguaggio libero non contestuale che comunque Può essere pompato? è più pertinente.

David S. Wise fornisce nel suo articolo Un forte lemma di pompaggio per linguaggi senza contesto un forte lemma di pompaggio che equivale ad essere privo di contesto. Fornisce anche un'ulteriore condizione equivalente (proprietà 3 a pagina 362) che sostiene potrebbe essere vista come un analogo del teorema di Myhill-Nerode. Come applicazione di quest'ultimo, mostra che non può essere espresso come intersezione finita di linguaggi senza contesto.$\{ a^nba^{mn} : m,n > 0 \}$

Ulteriori informazioni sul forte lemma del pompaggio appaiono in una delle mie risposte .

C'è una bella caratterizzazione dei linguaggi senza contesto (accreditati a Wechler) nel documento di Berstel e Boasson, Verso una teoria algebrica dei linguaggi senza contesto . Consentitemi di introdurre alcune definizioni per affermare questo risultato (Teorema 3.1 nel documento).

La chiusura polinomiale di una classe di lingue di è l'insieme di tutte le lingue che sono unioni finite di prodotti della forma , dove e .$Pol(\mathcal{L})$$\mathcal{L}$$A^*$$L_0a_1L_1 \dotsm a_nL_n$$L_0, ..., L_n \in \mathcal{L}$$a_1, ..., a_n \in A$

Un algebra è una classe delle lingue contenenti linguaggio e tale che . Viene generato finemente se per alcuni insiemi finiti di lingue. È stabile se, per ogni e , la lingua appartiene anche a . Si noti che è sufficiente avere per tutti .$\mathcal{A}$$\{1\}$$\mathcal{A} = Pol(\mathcal{A})$$\mathcal{A} = Pol(\mathcal{F})$$\mathcal{F}$$L \in \mathcal{A}$$u \in A^*$$u^{-1}L = \{v \mid uv \in L\}$$\mathcal{A}$$a^{-1}L \in \mathcal{A}$$a \in A$

Teorema . Un linguaggio di è privo di contesto se e solo se appartiene a un'algebra stabile finemente generata.$A^*$

Vedi l'articolo per esempi illuminanti e molte belle conseguenze.