Trova la sottosequenza della lunghezza massima soddisfacendo contemporaneamente due vincoli di ordinazione

Ci viene dato un set $F=\{f_1, f_2, f_3, …, f_N\}$ di $N$Frutta. Ogni frutto ha un prezzo$P_i$ e contenuto vitaminico $V_i$; abbiamo associato la frutta$f_i$ con la coppia ordinata $(P_i, V_i)$. Ora dobbiamo sistemare questi frutti in modo tale che l'elenco ordinato contenga i prezzi in ordine crescente e il contenuto vitaminico in ordine decrescente.

Esempio 1 :$N = 4$ e $F = \{(2, 8), (5, 11), (7, 9), (10, 2)\}$.

Se disponiamo l'elenco in modo tale che tutti i prezzi siano in ordine crescente e i contenuti vitaminici in ordine decrescente, gli elenchi validi sono i seguenti:

• $[(2, 8)]$
• $[(5, 11)]$
• $[(7, 9)]$
• $[(10, 2)]$
• $[(2, 8), (10, 2)]$
• $[(5, 11), (7, 9)]$
• $[(5, 11), (10, 2)]$
• $[(7, 9), (10, 2)]$
• $[(5, 11), (7, 9), (10, 2)]$

Tra gli elenchi sopra, voglio scegliere l'elenco di dimensioni massime. Se più di un elenco ha dimensioni massime, dovremmo scegliere l'elenco di dimensioni massime la cui somma dei prezzi è minima. L'elenco che dovrebbe essere scelto nell'esempio sopra è$\{(5, 11), (7, 9), (10, 2)\}$.

Esempio 2 :$N = 10$ e

$$F = \{(99,10),(12,23),(34,4),(10,5),(87,11),(19,10), \\(90,18), (43,90),(13,100),(78,65)\}$$

La risposta a questa istanza di esempio è $[(13,100),(43,90),(78,65),(87,11),(99,10)]$.

Fino ad ora, questo è quello che ho fatto:

1. Ordinare l'elenco originale in ordine crescente di prezzo;
2. Trova tutte le sottosequenze dell'elenco ordinato;
3. Verifica se la sottosequenza è valida e confronta tutte le sottosequenze valide.

Tuttavia, ciò richiede tempo esponenziale; come posso risolvere questo problema in modo più efficiente?

Una soluzione di programmazione dinamica funzionerebbe qui, se i contenuti vitaminici provengono da un set finito (ad esempio, numeri interi limitati). Innanzitutto, ordina i frutti a prezzo crescente e nei casi in cui due o più frutti hanno lo stesso prezzo, ordinali in base al contenuto vitaminico (decrescente). Adesso definisci$M[f, v]$ essere il numero massimo di frutti in un elenco secondario, contenente solo l'ultimo $f$ frutti (dell'elenco ordinato), aventi al massimo un contenuto vitaminico $v$. $M[0, *] = 0$ e

$$M[f, v] = \begin{cases} \mathrm{max} \{M[f-1, v], 1 + M[f-1, V_f]\} & \text{if \(V_f <= v\)} \\ M[f-1, v] & \text{otherwise} \\ \end{cases}$$ L'uso della programmazione dinamica ti offre una soluzione $O(\text{number of fruit} \times \text{possible vitamin values})$.