Cosa è richiesto per il calcolo analogico universale?

Quali operazioni devono essere eseguite per eseguire qualsiasi calcolo analogico arbitrario ? Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sarebbero sufficienti?

Inoltre, qualcuno sa esattamente quali problemi sono trattabili utilizzando il calcolo analogico, ma non con il digitale?

Sfortunatamente, non esiste un concetto "universale" di universalità nell'informatica analogica. Tuttavia, questo articolo di Delvenne propone un formalismo unificante per l'universalità nei sistemi dinamici discreti (ad esempio Macchine di Turing) e continui (ad esempio equazioni differenziali) e rivede alcuni sistemi universali studiati in letteratura. Ecco un estratto dall'articolo che descrive in modo informale la procedura per dimostrare l'universalità di un sistema dinamico:

Ma la maggior parte dei sistemi dinamici studiati in matematica e fisica hanno uno spazio di stato non numerabile, ad esempio automi cellulari, equazioni differenziali, mappe lineari a tratti, ecc. Esempi di tali sistemi sono stati dimostrati universali. Il loro problema di arresto viene imitato dalla macchina di Turing nel modo seguente. Scegliamo una particolare famiglia numerabile di stati iniziali e una famiglia numerabile di stati finali o insiemi finali di stati. Quindi al problema di arresto viene dato uno stato iniziale e uno stato / insieme di stati finali, indipendentemente dal fatto che la traiettoria a partire dallo stato iniziale raggiunga lo stato / insieme finale di stati. Esempi più specifici sono riportati nella Sezione 7.

Jean-Charles Delvenne, Che cos'è una macchina informatica universale ?, Matematica applicata e calcolo, Volume 215, Numero 4, 15 ottobre 2009, Pagine 1368-1374

Non credo che si possa rispondere alla domanda se non si ha una definizione del tipo di calcolo di cui stiamo parlando.

L'universalità di un modello di macchina con una classe di calcolo significa che qualsiasi calcolo in quella classe può essere calcolato da una macchina. A meno che tu non definisca la classe di "calcoli analogici arbitrari", non possiamo rispondere a ciò che l'universo viene loro scritto.

Ora, le funzioni che hai elencato ti daranno solo polinomi e il loro quoziente che è una classe piuttosto piccola di funzioni reali, non puoi nemmeno calcolare funzioni semplici come , ⌊ x ⌋ , $2^x$$\lfloor x \rfloor$ , ... usandoli.$\sqrt x$

Se la tua domanda è se ci sono sistemi fisici che a partire da uno stato iniziale raggiungeranno un altro stato in qualche momento e se questo è sempre calcolabile, allora la risposta dipende dal tipo di fisica di cui stiamo parlando e da cosa significa impostare una configurazione iniziale e osservando il risultato, ecc.

Se stiamo semplicemente parlando matematicamente della fisica classica (possiamo impostare qualsiasi configurazione iniziale su una precisione infinita e senza alcuna considerazione su cose come l'energia necessaria per impostare la configurazione e osservare il risultato è simile dal punto di vista matematico) allora è stato saputo per molto tempo che ci sono equazioni differenziali sulle funzioni calcolabili se la loro soluzione non è calcolabile, vedi Marian B. Pour-El e J. Ian Richards, " Computabilità in analisi e fisica ", 1989.

Un caso interessante è se il problema n-body è calcolabile (e se ricordo bene la risposta è no, almeno per ).$n>4$

In generale, se possiamo semplicemente verificare l'uguaglianza di due numeri reali che danno una funzione che non è continua, scriviamo tipologie tipiche di informazioni sui numeri reali e quindi non possono essere calcolate da una macchina di Turing poiché nessuna funzione (comprese le funzioni di tipo superiore) che una macchina di Turing può calcolare è continuo (scrive la topologia delle informazioni).

TL; DR: se per "computer analogici" intendi analizzatori differenziali , la risposta è additivi, unità costanti e integratore. Bournez, Campagnolo, Graça e Hainry hanno dimostrato nel 2006 ( paywalled / free reprint ) che un modello idealizzato ne consente di calcolare tutte le funzioni calcolabili nell'ambito di analisi calcolabili , e questo modello necessita solo di questi 3 tipi di unità.

Funzioni trascendentali

$\sin$$\exp$$\log$

Modelli di calcolo analogico

Come sottolineato da altri, il concetto di "calcolo universale" è meno chiaro per i computer analogici rispetto ai computer standard, in cui la diversa nozione naturale di calcolabilità in diversi modelli di calcolo è stata trovata equivalente negli anni '30 (vedere la pagina Wikipedia su Church Turing Thesis per i dettagli ) .

Per definire una tale universalità, si dovrebbe prima definire un buon modello per il calcolo analogico, ed è un compito difficile, poiché il modello dovrebbe essere idealizzato e abbastanza naturale da essere utile, ma la sua idealizzazione non dovrebbe dare un potere irrealistico al modello. Un esempio di una così buona idealizzazione è il nastro infinito delle macchine Turing. Il problema con i computer analogici arriva con numeri reali che potrebbero consentire di costruire cose irragionevoli come la macchina Zeno . Tuttavia, molti di questi modelli sono stati proposti e utilizzati in letteratura (Il GPAC è l'argomento principale di questa risposta, ma cerco di essere completo nell'elenco seguente, senza alcun hypercomputer ):

• il General Purpose Analogue Computer (GPAC), definito da Claude E.Shannon nel 1941 ( pdf con firewall ) per modellare gli analizzatori differenziali . La definizione di GPAC è stata recentemente perfezionata e la sua potenza di calcolo è stata rivista al rialzo;
• la macchina Blum-Shub-Smale , che agisce in momenti discreti su numeri reali. È strettamente correlato al modello di RAM reale spesso utilizzato nella geometria computazionale;
• $\mathbb R$
• Reti neurali ;
• Analisi calcolabile, che esamina i numeri reali calcolabili da una macchina di Turing.

Potenza del modello GPAC

$\Gamma$$\zeta$$y(t)=\Gamma(t)$e per un lungo periodo è sembrato che un computer così analogico non sia "universale", poiché non può generare alcune funzioni calcolabili ragionevoli, utilizzate dai matematici.

$f$$y(t)$$f(x)$$x$$\gamma$$\zeta$.

Bournez, Graça e Pouly hanno quindi dimostrato nel 2013 che questi computer analogici possono simulare in modo efficiente una macchina Turing ( p 181 di un grande pdf ) e, nel 2014, che le classi di complessità P e NP sono equivalenti in questo modello.

Sarebbe utile proporre che un sistema analogico universale possa essere modellato da una rete neurale infinita, vale a dire Qualsiasi altro valore di input / output del sistema analogico può essere replicato abbinato alla rete neurale per una data operazione e le operazioni possono essere concatenate come richiesto?

Mentre ho formulato questo pensiero da solo, una ricerca successiva ha mostrato una proposta simile:

Ciò che emerge è una tesi simile a Church-Turing, applicata al campo del calcolo analogico, che presenta il modello di rete neurale al posto della macchina di Turing digitale (vedi qui ).

Probabilmente tutto ciò di cui hai bisogno sono le operazioni primitive per spostare il valore da un nodo a un altro. Off il bracciale che potrebbe essere più, meno e dividere per ottenere il rapporto tra le connessioni.

Ora per quanto riguarda i problemi intrattabili, guarda dove le reti neurali sono state applicate con successo o sono in fase di esecuzione a causa dell'implementazione su un computer discreto.

(e mi scuso se la mia visione di quasi laici su questo argomento è palesemente ovvia)