Esempio di una proposizione falsa quando si assume Tipo: Tipo

Nella Teoria dei tipi se si consente a Tipo di essere un membro di se stesso, si rende la teoria incoerente. Lo capisco per analogia al paradosso di Russel in Set Theory, ma preferirei vederlo fatto in Type Theory. C'è un breve esempio dell'equivalente in Teoria dei tipi?

La letteratura pertinente è la seguente:

Thierry Coquand Un nuovo paradosso nella teoria dei tipi (link) . Descrive il suo paradosso in un sistema leggermente più debole di

Type : Type

Ma questo può essere facilmente trasportato in precedenza. L'idea principale è quella di provare a Reynolds che non ci sono modelli del sistema F nella teoria degli insiemi. Ciò procede costruendo una algebra iniziale del modulo:

$$A\simeq (A \rightarrow \mathrm{2}) \rightarrow \mathrm{2}$$

Dove è un insieme con 2 elementi e deriva una contraddizione da un argomento di cardinalità. Spettacoli di Coquand$\mathrm{2}$

1. È possibile eseguire questo ragionamento nella teoria dei tipi sopra
2. V'è un modello di sistema di F in quella teoria. Questo produce una contraddizione.

Il secondo articolo è di Antonius Hurkens ed è intitolato Una semplificazione del paradosso di Girard (link) . La dimostrazione implica una costruzione del "tipo di tutti i tipi ben fondati". Devo ammettere che l'idea generale sembra chiara, ma i dettagli sono piuttosto diabolici.

Temo che non vi sia alcuna contraddizione semplice e facile da comprendere in . Tuttavia, i termini di prova ottenuti dalla contraddizione sono relativamente trattabili: solo poche righe sono sufficienti per definirli.$\mathrm{Type} : \mathrm{Type}$

Alexandre Miquel, nella sua tesi di laurea , ha dimostrato che si potrebbe costruire un modello di teoria degli insiemi ingenui in questi sistemi di tipo incoerenti usando un'interpretazione a grafo appuntito degli insiemi. Può quindi semplicemente applicare direttamente il paradosso di Russel. Purtroppo la costruzione del modello richiede un po 'di lavoro e la tesi è in francese.