Indovinare il numero intero positivo univoco più piccolo

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Consideriamo il seguente gioco: ci sono alcuni giocatori e un computer. Ogni giocatore inserisce un numero intero positivo e il suo nome (il giocatore non conosce i numeri di un altro, solo il suo). Quando tutti i giocatori hanno fatto le loro mosse, il computer emette un nome di vincitore, che ha inviato il numero univoco più basso .

Come pensi, qual è la migliore strategia per questo gioco?

game-theory randomness

— vortexxx192
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Ci sono un sacco di pagine web per questo problema con risposte contrastanti, ma sembra che questa abbia avuto ragione.

— Peter Shor,

@PeterShor o vortexxx192 - considera di riassumere le informazioni al link indicato in una risposta, a seconda dei casi.

— Patrick87

Questo gioco è stato effettivamente gestito per un giornale olandese da un popolare matematico. Erano presenti 1607 partecipanti e il vincitore ha scelto 35. Fonte (olandese, paywall): volkskrant.nl/opinie/…

— Albert Hendriks

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Ci sono un certo numero di discussioni su questo gioco online, ma dovresti stare attento perché alcuni offrono soluzioni errate. Questo sito offre un'ottima esposizione su come risolvere questo gioco. (Basato in parte su questo documento .) Supponi che tutti i giocatori utilizzino la stessa strategia mista e che quando tutti i giocatori usano questa strategia, c'è un equilibrio di Nash. Questo dà equazioni che per tre giocatori hanno una soluzione a forma chiusa: si sceglie l'intero con probabilità $i$

0.839286 \cdot (0.543689)^{i}

$0.839286 \cdot (0.543689)^{\textstyle i}$

dove 0.543689 è la soluzione di . $x^3 + x^2 + x = 1$

Per giocatori, se , le equazioni possono ancora essere derivate, ma sembrano non avere una soluzione a forma chiusa. Tuttavia, nella strategia ottimale la probabilità di giocare un numero maggiore di è molto piccola, quindi una strategia esplicita quasi ottimale può essere trovata risolvendo le equazioni numericamente. $k$ $k \geq 4$ $k$

— Peter Shor
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Non abbastanza reputazione per commentare, ma vale la pena notare che se i tuoi avversari stanno giocando con la strategia di equilibrio di Nash descritta da Peter Shor per una partita a 3 giocatori, le tue probabilità di vincita sono circa del 29,6% indipendentemente dal numero che scegli. Se stai giocando una sola partita (quindi nessuno può determinare la tua strategia) e consideri un pareggio tra tutti i giocatori non migliore di una perdita, un gran numero come 89285829358008871 ti darà le stesse possibilità di vittoria di 1 o 2.

In questo caso specifico, non c'è nulla da perdere nel provare una strategia diversa, nel caso in cui i tuoi avversari non si conformino alle tue ipotesi.

— Matt Thompson
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Fondamentalmente, quello che stai dicendo è che ci sono strategie che fanno bene contro la strategia di equilibrio. Questo è essenzialmente sempre il caso e, in realtà, tutto ciò che stai facendo è violare il presupposto che i giocatori agiscano razionalmente. Certo, puoi battere l'equilibrio di Nash ma se gli altri giocatori sanno che proverai a farlo, possono giocare in un modo che ti fa (probabilmente) perdere.

— David Richerby,

No, non era quello che stavo dicendo! Non ho mai dichiarato che l'equilibrio di Nash sarebbe stato battuto: se gli altri due giocatori optassero per quella strategia NON sarà battuto. Piuttosto, la risposta del terzo giocatore è irrilevante in quanto non ha alcun impatto sul risultato finale (in media), quindi non vi è alcun costo nel cambiare le strategie (se un avversario sceglie una strategia non ottimale, ad esempio - nessuna assunzione di razionalità in OP ). La risposta è stata più per evidenziare alcune proprietà particolari dell'equilibrio di Nash e discutere alcune delle implicazioni pratiche. Questo risponde alle tue preoccupazioni?

— Matt Thompson,