Conteggio del numero di somme da sottoquarti contigui di un array

Ci viene dato un array con tutto un [ i ] > 0 .$a[1 \ldots n]$$a[i]>0$

Ora abbiamo bisogno di scoprire quante somme distinte possono essere formate dai suoi sottoarrays (dove un subarray è un intervallo contiguo dell'array, cioè per alcuni j , k , la somma è la somma di tutti i elementi del subarray). Ad esempio, se a = [ 1 , 2 , 1 ] , la risposta è 4: possiamo formare 1 , 2 , 3 , 4 .$a[j\ldots k]$$j,k$$a=[1,2,1]$$1,2,3,4$

So contare il numero di somme distinte nel tempo .$O(n^2)$

Inoltre, ho capito che questo è simile al problema classico in cui dobbiamo trovare il numero di sottostringhe distinte di una stringa. Stavo pensando alla possibilità di costruire un array di suffissi e risolverlo in modo simile (in tempi ). Ma non sono stato in grado di capire come modificarlo per funzionare qui. Ad esempio, se utilizziamo l'array di suffissi per a = [ 1 , 2 , 1 ] otterremo 5 casi invece di quattro accettabili. È possibile farlo utilizzando array di suffissi o sto pensando nella direzione sbagliata?$O(n)$$a=[1,2,1]$

Inoltre c'è un'altra direzione in cui ho pensato. Dividi e conquista. Come se divido l'array in due parti ogni volta fino a quando non viene ridotto a un singolo elemento. Un singolo elemento può avere una somma. Ora se combiniamo due singoli elementi, può essere fatto in due modi: se entrambi i singoli intervalli hanno lo stesso elemento, allora otteniamo 2 somme diverse, oppure se entrambi hanno elementi diversi otteniamo 3 somme diverse. Ma non riesco a generalizzare questo per unire matrici di lunghezza maggiore di 1. È possibile unire due matrici di dimensioni m e ottenere la risposta in ?$O(m)$

$O(n^2)$$\Theta(n^2)$

$[1,2,4,8,\dotsc, 2^n]$$\frac{n(n+1)}2$

Il "quasi sicuramente" è dovuto al fatto che il problema non richiede i valori delle somme come output. Tuttavia, non penso che i duplicati possano essere evitati senza determinare almeno la maggior parte dei valori.