Separazione esponenziale tra NFA e DFA in presenza di sindacati

Recentemente è stata posta una domanda interessante e successivamente cancellata.

Per un linguaggio regolare $L$ , la sua complessità DFA è la dimensione del minimo DFA che lo accetta e la sua complessità NFA è la dimensione del minimo NFA che lo accetta. È noto che esiste una separazione esponenziale tra le due complessità, almeno quando la dimensione dell'alfabeto è illimitata. In effetti, considera la lingua $L_n$ sopra l'alfabeto $\{1,\ldots,n\}$ consiste di tutte le parole che non contengono tutti i simboli. Utilizzando il teorema di Myhill-Nerode è facile calcolare la complessità DFA $2^n$ . D'altra parte, la complessità di NFA è solo $n$ (se sono consentiti più stati iniziali; altrimenti è ). $n+1$

La domanda in questione cancellato il DFAE che copre la complessità di un linguaggio, che è il minimo tale che può essere scritto come (non necessariamente disgiunta) unione di linguaggi di DFA complessità al massimo . Il DFA che copre la complessità di è solo . $C$ $L$ $C$ $L_n$ $2$

Esiste una separazione esponenziale tra complessità NFA e DFA che copre la complessità?

regular-languages finite-automata

— Yuval Filmus
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Considera la lingua , dove è un nuovo simbolo. La complessità NFA di è . Mostreremo che la sua complessità di copertura DFA è . $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$

Lasciate essere un DFA accettare qualche linguaggio , con funzione di transizione . Chiamare uno stato fattibile se c'è una parola tale che è uno stato accettante. Per due stati non in errore , let $A$ $L(A) \subseteq M_n$ $q_A$ $s$ $w$ $q_A(s,w)$ $s,t$ Non è difficile verificare che ogni parola può essere scritto come dove per alcuni vitali .

A_{s, t} = {w \in (1 + \dots + n)^{*} : q_{A} (s, w) = t} .

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$

w \in L (A)

$w \in L(A)$

w = w_{1} # \dots # w_{l}

$w = w_1\# \cdots \#w_l$

w_{i} \in A_{s_{i}, t_{i}}

$w_i \in A_{s_i,t_i}$

s_{i}, t_{i}

$s_i,t_i$

Supponiamo che , dove ogni è un DFA. Sia il reticolo generato da tutte le lingue . Possiamo vedere come una lingua su , lo spazio tra due simboli corrispondenti a . Sotto questo punto di vista, $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ corrisponde a . $P^*$

Chiama universale se per alcuni è il caso che per tutti ci sia tale che . Sosteniamo che alcuni siano universali. Altrimenti, ogni contiene al massimo $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $(|P|-1)^l$ parole di lunghezza . In totale, deve contenere tutto parole di lunghezza , quindi , che viene violato per un abbastanza grande . $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$

$L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ $x\#y\#z_y \in L(A_i)$

For a subset $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ , let $y_S$ consist of the letters in $S$ written in order. We claim that the words $x\#y_S$ are inequivalent for the Myhill-Nerode relation of $A$ . Indeed, suppose $S \neq T$ and find some $a \in S \setminus T$ (without loss of generality). Then $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ while $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ . Therefore $A$ must have a least $2^n$ states.

— Yuval Filmus
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