Riduzioni tra problemi indecidibili

Mi dispiace se questa domanda ha qualche banale risposta che mi manca. Ogni volta che studio qualche problema che è stato dimostrato indecidibile, osservo che la prova si basa sulla riduzione di un altro problema che si è dimostrato indecidibile. Capisco che crea una sorta di ordine sul grado di difficoltà di un problema. Ma la mia domanda è: è stato dimostrato che tutti i problemi che sono indecidibili possono essere ridotti a un altro problema che è indecidibile. Non è possibile che esista un problema indecidibile che può dimostrare di non avere alcuna riduzione rispetto a qualsiasi altro problema indecidibile (Quindi, per dimostrare l'indecidibilità di un tale problema, non si possono usare le riduzioni). Se utilizziamo le riduzioni per creare un ordine sul grado di calcolabilità, questo problema non può essere assegnato a tale grado.

computability reductions undecidability

— swarnim_narayan
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Risposta breve: tutt'altro che banale! Guarda la gerarchia aritmetica .

— Hendrik Jan

Che dire di questo: se

è un linguaggio e indecidibile

essere l'elemento più piccolo in

. Poi

è riducibile (e viceversa) per

. Se inoltre aggiungi un elemento a

(ad esempio l'elemento più piccolo non in

), allora hai una riduzione di 1-1.

L

$L$

x min L

$x \min L$

L

$L$

L^{'} = L ∖ {x}

$L' = L \setminus \{x\}$

L

$L$

L^{'}

$L'$

L

$L$

— GD

Come ha detto Hendrik Jan, ci sono in realtà diversi gradi di indecidibilità. Ad esempio, il problema di decidere se una macchina di Turing si ferma su tutti gli ingressi è più difficile del problema di arresto, nel senso seguente: anche dato un oracolo al problema di arresto, non possiamo decidere se una determinata macchina di Turing si ferma su tutti gli ingressi .

Una tecnica importante utilizzata per mostrare relazioni come queste è la diagonalizzazione . Usando la diagonalizzazione, dato un problema , possiamo sempre trovare un problema più difficile, vale a dire il problema di arresto per le macchine di Turing con accesso a un oracolo Il nuovo problema è più difficile nel senso seguente: una macchina di Turing con un oracolo che accede a non può risolvere . In tal senso non esiste alcun problema "più difficile". $P$ $P$ $P'$ $P$ $P'$

— Yuval Filmus
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Grazie per la risposta. Ho capito cosa stai dicendo. Possiamo costruire problemi "più difficili" da quelli "difficili". Ma questi schemi di costruzione di problemi più difficili da quelli difficili (ad esempio, dire che la diagonalizzazione è uno di questi schemi come hai menzionato) coprono necessariamente "tutti" i problemi indecidibili esistenti (cioè sono garantiti per costruire l'insieme di tutti i problemi indecidibili). Non è possibile che alcuni siano stati esclusi dalla costruzione e non possano essere costruiti da altri indecidibili?

— swarnim_narayan,

Al contrario, sappiamo che la maggior parte dei problemi sarà lasciata fuori, dal momento che ci sono solo molti problemi definibili, ma innumerevoli molti in totale. Più concretamente, ti chiedi come definire problemi "davvero difficili", l'analogo teorico della ricorsione dei grandi cardinali. Se è quello che ti interessa, fai una nuova domanda focalizzata su questo aspetto.

— Yuval Filmus,

Un problema simile si presenta quando si costruiscono gerarchie di funzioni ricorsive a crescita rapida, nel qual caso si sa che in un certo senso non c'è modo di costruire una gerarchia piacevole ed esauriente.

— Yuval Filmus,