Funzioni continue di Scott: una definizione alternativa

Sto davvero lottando con questa proprietà:

Let sia spazi coerenti e è una funzione monotona. è continuo se e solo se , per tutti tale che D sia un insieme diretto.$X,Y$f f ( ⋃ x ∈ D x ) = ⋃ x ∈ D f ( x ) D ⊆ C l ( X ) $f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

Il set diretto viene definito in questo modo: $D \subseteq$ POSET è un set diretto iff \ forall x, x '\ in D \ esiste z \ in D tale x \ subseteq z e x' \ subseteq z . Cl (X) sta per cricche di X: \ {x \ subseteq | X | \ mid a, b \ in x \ Rightarrow a coerente b \} .∃ z ∈ $\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

Molti libri danno ciò come una definizione delle funzioni continue di Scott , ma sfortunatamente non il mio insegnante. Ci ha dato questa definizione di continuo:

$f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$ è continuo se è monotono e $\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$ ,
dove la monotonia è definita come: $f$ è monotona iff $a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

Questa è la prova proposta che ho, ma non riesco a capire l'ultima equazione.

La prova di $f$ continua implica $f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
Sia $b \in f(\bigcup D)$ . Per definizione di continuità, $\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$ . Si noti che $x_0$ è l'unione di $\{ x_i \mid x_i \in D\}$ .
Se $D$ è diretto, allora: $\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$ quindi $x_0 \subseteq z$ . Dalla definizione di monotonia, $f(x_0)\subseteq f(z)$ così $b \in f(z)$ (???) $\subseteq \bigcup f(D)$ . E anche questo è vero dovremmo mostrare che $\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$ , non solo$\subseteq$ .

La prova dell'altra implicazione è ancora peggio, quindi non posso scriverla qui ... Puoi spiegarmi come può funzionare la prova?

La definizione di continuità usata dal tuo insegnante è la migliore. Ti dice abbastanza concretamente cosa significa continuità.

Supponiamo che . Ciò significa che, data tutta l'informazione di , possibilmente un insieme infinito di token (atomi), la funzione produce qualche elemento che ha l'informazione atomica . (Potrebbe avere anche altre informazioni, ma al momento non ci occupiamo di questo.) La definizione del tuo insegnante dice che non è necessario guardare tutte le informazioni infinite di per produrre le informazioni di output . Un sottoinsieme finito di è sufficiente per produrlo.x b x b $b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(Il libro di Melvin Fitting "Teoria della computabilità, semantica e programmazione logica", Oxford, 1987, definisce questa compattezza della proprietà e definisce una funzione continua come monotona e compatta).

Questa è l' essenza della continuità. Per ottenere una quantità limitata di informazioni sull'output di una funzione, è necessaria solo una quantità limitata di informazioni sull'input. L'output prodotto dalla funzione per un input infinito viene ottenuto mettendo insieme le informazioni che produce per tutte le approssimazioni finite dell'input infinito. In altre parole, non si ottiene alcun salto magico nel passare dalle approssimazioni finite alla loro unione infinita. Qualunque cosa tu ottenga all'infinito, dovresti già arrivare a un certo stadio finito.

L'equazione standard è carina da guardare, ma non ti dice tutta l'intuizione che ho spiegato sopra. Tuttavia, matematicamente, equivale alla definizione del tuo insegnante.$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

Per mostrare che , è sufficiente mostrare che è incluso in , per ogni . Ma ciò deriva direttamente dalla monotonia di perché . Quindi, questa è la direzione "facile".f ( x ) f ( ⋃ x ∈ D x ) x ∈ D f x ⊆ ⋃ x ∈ D$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

L'altra direzione, dimostrata dal tuo insegnante, è quella interessante: . Per vedere questo, usa l'intuizione che ho menzionato sopra. Qualsiasi informazione atomica nella parte sinistra proviene da un'approssimazione finita dell'input: . Cioè, . Poiché è finito ed è incluso nell'unione dell'insieme diretto, deve esserci qualcosa nell'insieme diretto maggiore di , forse stesso. Chiama quell'elemento . Per monotonia, . Quindi,$f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$$x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$. Poiché , . Quindi ora si vede che anche trova sul lato destro. QED.$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$

Come hai notato, mostrare che la continuità del tuo insegnante implica la bella equazione è la cosa più semplice. La parte più difficile è mostrare che la bella equazione, nonostante sembri che non stia dicendo molto, dice davvero tutto nella definizione del tuo insegnante.

Mi è venuto in mente tardivamente, dopo aver scritto l'ultima risposta, che la definizione di continuità dell'insegnante che stavo spiegando nella mia risposta è la nozione topologica di continuità. La formulazione algebrica della continuità che è di solito menzionata nei libri di testo di Informatica nasconde tutte le intuizioni topologiche. (In effetti, Dana Scott ha spesso scritto di aver deliberatamente evitato le formulazioni topologiche perché gli informatici non ne hanno familiarità.)

Il legame tra le formulazioni algebriche e topologiche si chiama dualità della Pietra e sta diventando sempre più chiaro che questo legame stesso è estremamente importante per l'Informatica.

Per un'esposizione concettuale di queste connessioni (e molto altro), vedere Informazioni, processi e giochi di Abramsky .