Qual è il significato dei bordi di peso negativo in un grafico?

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Stavo facendo esercizi di programmazione dinamica e ho trovato l'algoritmo Floyd-Warshall. Apparentemente trova i percorsi più brevi di tutte le coppie per un grafico che può avere bordi di peso negativi, ma nessun ciclo negativo.

Quindi, mi chiedo qual è il significato del mondo reale dei bordi di peso negativo? Una semplice spiegazione in inglese sarebbe utile.

algorithms graph-theory

— C2H5OH
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Il peso dei bordi può rappresentare tutto nel mondo reale, ad esempio la quantità di denaro da trasferire da un conto a un altro conto può essere positiva o negativa, ad esempio se si desidera fare qualcosa significa che si deve passare da a-> b nel grafico con perdendo il minor costo possibile (percorso più breve), quindi puoi considerare un peso negativo .... ad esempio, vedi questo capitolo del libro che contiene alcuni esempi: informit.com/articles/article.aspx?p=169575&seqNum=8

quindi se a ---- (2) ----> b ---- (- 2) ----> c e a ----- (1) ----> c e andare da da a a c, devo scegliere il percorso abc poiché il costo totale è 0? perché è il percorso più breve. correggimi se sbaglio!

— c2h5oh,

ad esempio supponiamo che se stai facendo un lavoro

per passare dallo stato

a

costa

(ad esempio il lavoro sta acquistando il libro costa 2

), dopodiché puoi fare qualche progetto (guadagni 2

, significa che la funzione di costo è - 2), quindi hai raggiunto il tuo scopo (essere professionale o c), quindi il costo totale è 0 e sei nel tuo stato. a - (+ 2) -> b - (- 2) -> c: +2 - 2 = 0 (costo totale da a: novizio, a c: professionale).

e (a b)

$e(ab)$

a

$a$

b

$b$

2 $

$2\$$

$

$\$$

$

$\$$

quindi il mio presupposto è giusto, anche se dobbiamo viaggiare 1 bordo in più sceglieremo abc invece di ac.am, giusto?

— c2h5oh,

Sì, esattamente, il tuo presupposto è giusto. Nota che puoi leggere altro (come il link che ti ho fornito) o dalla nostra discussione puoi rispondere alla tua domanda e contrassegnarla come risposta accettata.

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Saeed Amiri ha già fornito un eccellente esempio in un commento: il peso sui bordi può rappresentare qualsiasi cosa nel mondo reale, ad esempio la quantità di denaro da trasferire da un conto a un altro. Gli importi possono essere positivi o negativi. Ad esempio, se si desidera passare dalla alla nel grafico perdendo il minor numero possibile di denaro (percorso più breve), è possibile considerare pesi negativi. Per di più, vedi questo capitolo del libro . $a$ $b$

A parte questo, ci sono molte più applicazioni. I pesi negativi dipendono da ciò che si modella per essere. Ad esempio, considera questo grafico

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Chimica: i pesi possono essere utilizzati per rappresentare il calore prodotto durante una reazione chimica. (Modalità: composti, bordo : se il composto può essere ottenuto ("ridotto chimicamente") da . In questo grafico: si producono kJ per convertire e kJ per convertire in . Sono necessari kJ per tornare da . $e_{uv}$ $v$ $u$ $4$ $s-a$ $2$ $a$ $t$ $5$ $s$ $t$
Real Life: Pensate ad un pilota, che viene pagato a guidare il suo datore di lavoro da a ma paga tra e (diciamo in viaggio tra la sua casa e il suo posto di lavoro). $s$ $t$ $a$ $b$
Giochi: supponete di giocare con le forbici di carta rock per soldi. Nodi: roccia, carta, forbici. Bordi: qualsiasi relazione (cricca). Pesi: scommessa. In questo grafico: (dimentica di ), qui, batte , batte e batte , e vince rispettivamente 4,2, -5. $b$ $s$ $a$ $a$ $t$ $t$ $s$

— Subhayan
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Ciao, grazie per la risposta. Qualcuno può spiegare l'esempio delle forbici di roccia? Come hai creato i pesi 4, 2, -5 per loro?

— Saurabh Goyal

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Non sono un ragazzo di chimica, ma penso comunque che questo esempio varrà per aiutarti a pensare a processore, teoria della rete e cose correlate.

Considera un grafico che simula il comportamento di una molecola in una reazione chimica, ovvero quali percorsi può prendere durante la reazione e i pesi rappresentano l'energia assorbita o rilasciata nella transizione, quindi se vogliamo energia dalla reazione rappresentiamo l'energia rilasciata con + ve pesi e assorbiti energia con -ve.

— pj
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Un bordo negativo è semplicemente un bordo con un peso negativo. Potrebbe essere in qualsiasi contesto pertinente al grafico e a cosa si riferiscono i suoi bordi. Ad esempio, il CD edge nel grafico sopra è un bordo negativo. Floyd-Warshall funziona minimizzando il peso tra ogni coppia del grafico, se possibile. Quindi, per un peso negativo potresti semplicemente eseguire il calcolo come avresti fatto per i bordi del peso positivo.

Il problema sorge quando c'è un ciclo negativo. Dai un'occhiata al grafico sopra. E poniti la domanda: qual è il percorso più breve tra A ed E? All'inizio potresti pensare che il suo ABCE abbia un costo di 6 (2 + 1 + 3). Ma in realtà, osservando più a fondo, osserveresti un ciclo negativo, che è BCD. Il peso di BCD è 1 + (- 4) +2 = (-1). Mentre attraversavo da A a E, potevo continuare a pedalare all'interno del BCD per ridurre il mio costo di 1 ogni volta. Ad esempio, il percorso A (BCD) BCE costa 5 (2 + (- 1) + 1 + 3). Ora ripetere il ciclo infiniti tempi continuerebbe a ridurre il costo di 1 ogni volta. Potrei ottenere un percorso breve infinito negativo tra A ed E.

Il problema è evidente per qualsiasi ciclo negativo in un grafico. Quindi, ogni volta che è presente un ciclo negativo, il peso minimo non è definito o è infinito negativo, quindi Floyd-Warshall non può funzionare in questo caso.

In aggiunta, potresti voler dare un'occhiata all'Algoritmo Bellman-Ford che rileva se un grafico ha un ciclo negativo o meno e altrimenti restituisce il percorso più breve tra due nodi.

— divanshu
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Non credo che questo risponda alla domanda. La domanda non è "perché un ciclo negativo è un problema", ma piuttosto "perché uno dovrebbe mai avere bordi con pesi negativi nella vita reale".

— Juho,

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Ad esempio, immagina una rete logistica in cui il peso w (i, j) di un bordo ij è il costo per passare dal vertice i al vertice j. Se stipulassi un accordo commerciale con altre aziende per il trasporto dei loro prodotti, w (i, j) sarebbe un profitto anziché un costo, quindi puoi interpretare questo peso come un costo negativo.

— Luis Pargas Carmona
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Congestione del traffico su una mappa:

Un altro esempio del mondo reale di associazione dei pesi a un bordo potrebbe essere rappresentato dai pesi che rappresentano le condizioni del traffico in una mappa (più negativa, più sfavorevole): potremmo quindi utilizzare questa rappresentazione per calcolare le distanze ottimali.

Possiamo davvero usare la metafora del "peso" per rappresentare qualsiasi cosa di valore positivo / negativo tra due punti qualsiasi in un grafico

— Ranga
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Benvenuti nel sito! Non penso che questo sia un ottimo esempio. Nel caso di congestione del traffico, sembra più naturale appesantire i bordi sulla mappa quando ci vuole per percorrere la strada, quindi un'elevata congestione porterebbe ad un peso elevato. Dopotutto, l'obiettivo è di solito raggiungere rapidamente la destinazione e di solito si preferisce prendere una strada breve ma congestionata piuttosto che una strada molto più lunga non congestionata. Inoltre, in genere vogliamo utilizzare il costo minimo come metrica: funziona bene con la ponderazione che ho suggerito e molto male con quella che hai suggerito.

— David Richerby,