Le espressioni regolari "dense" generano

Ecco una congettura per le espressioni regolari:

Per l'espressione regolare , lascia che la lunghezza | R | essere il numero di simboli in essa contenuti, ignorando le parentesi e gli operatori. Ad esempio | 0 ∪ 1 | = | ( 0 ∪ 1 ) ∗ | = $R$$|R|$$|0 \cup 1| = |(0 \cup 1)^*| = 2$

Congettura: Se e L ( R ) contiene ogni stringa di lunghezza | R | o meno, quindi L ( R ) = Σ ∗ .$|R| > 1$$L(R)$$|R|$$L(R) = \Sigma^*$

Cioè, se è 'denso' fino a R lunghezza s', quindi R in realtà genera tutto.$L(R)$$R$$R$

Alcune cose che potrebbero essere rilevanti:

1. È necessaria solo una piccola parte di per generare tutte le stringhe. Ad esempio in binario, R = ( 0 ∪ 1 ) * ∪ S funziona per qualsiasi S .$R$$R = (0 \cup 1)^* \cup S$$S$
2. Ci deve essere una stella di Kleene in ad un certo punto. In caso contrario, mancherà una stringa di dimensioni inferiore a | R | .$R$$|R|$

Sarebbe bello vedere una prova o un controesempio. C'è qualche caso in cui è ovviamente sbagliato che mi sia perso? Qualcuno ha mai visto questo (o qualcosa di simile) prima?

La tua congettura è smentita da Keith Ellul, Bryan Krawetz, Jeffrey Shallit e Ming-wei Wang nel loro articolo "Espressioni regolari: nuovi risultati e problemi aperti". Mentre il documento non è disponibile online, si parla .

Nel documento, definiscono la misura , che è il numero di simboli in R , senza contare ϵ o ∅ . Tuttavia, ∅ può essere eliminato da ogni espressione che non genera la lingua vuota e l'espressione può essere "ripulita" in modo che il numero di ϵ che contiene sia al massimo | a l p h ( R ) | (Lemma a pagina 10 del discorso).$|\mathrm{alph}(R)|$$R$$\epsilon$$\emptyset$$\emptyset$$\epsilon$$|\mathrm{alph}(R)|$

Nella pagina 51, per ogni costruiscono un'espressione regolare di dimensione O ( n ) su { 0 , 1 } che genera tutte le stringhe di dimensione al massimo Ω ( 2 n n ) , ma non genera tutte le stringhe. Nota che "size" qui è sia nel tuo senso che nel loro, poiché stiamo usando la notazione big-O. Pongono anche una domanda aperta per trovare la migliore dipendenza tra i due parametri.$n \geq 3$$O(n)$$\{0,1\}$$\Omega(2^n n)$