Chiusura con il quoziente giusto con una lingua fissa

Mi piacerebbe molto il tuo aiuto per quanto segue:

Per ogni fisso $L_2$devo decidere se esiste una chiusura con i seguenti operatori:

1. $A_r(L)=\{x \mid \exists y \in L_2 : xy \in L\}$

2. $A_l(L)=\{x \mid \exists y \in L : xy \in L_2\}$ .

Le opzioni pertinenti sono:

1. Le lingue regolari sono chiuse in $A_l$ resp. $A_r$ , per qualsiasi lingua $L_2$

2. Per alcune lingue $L_2$ , le lingue normali sono chiuse in $A_l$ resp. $A_r$ , e per alcune lingue $L_2$ , le lingue normali non sono chiuse in $A_l$ resp. $A_r$ .

Ho creduto che la risposta per (1) dovesse essere (2), perché quando ricevo una parola in $w \in L$ e $w=xy$ posso costruire un automa in grado di indovinare dove $x$ gira verso , ma poi deve verificare che appartiene a e se non sarà regolare, come lo farebbe? La risposta è (1).y L $y$$y$$L_2$

Cosa devo fare per analizzare correttamente quegli operatori e determinare se le lingue normali sono chiuse sotto di loro o no?

Per rispondere a queste domande, dobbiamo consentire qualsiasi . Quindi pensiamo che L 2 sia un linguaggio molto complesso (diciamo, un linguaggio indecidibile).$L_2$$L_2$

Partiamo dalla domanda facile: (domanda parte 2). Prendi L 2 come indecidibile e L = { ε } . Che succede?$A_l(L)$$L_2$$L=\{\varepsilon\}$

(morale: controlla sempre gli "estremi": svuota , L = { ε } e L = Σ ∗ ...)$L$$L=\{\varepsilon\}$$L=\Sigma^*$

Ora per . Questa è un'ottima domanda (di solito domanda bonus in Final / Homeworks). Infatti, linguaggi regolari sono chiusi in una r per qualsiasi lingua L 2 . Anche indecidibile L 2 . Bene, vero?$A_r$$A_r$$L_2$$L_2$

Quindi, come possiamo costruire un automa per se non ci sono macchine che accettano L 2 ?$A_r(L)$$L_2$

Arriva la magia del "pensiero astratto", cioè della prova esistenziale . Se qualcuno ci fornisce possiamo usare queste informazioni per mostrare che esiste un automa per risolvere A ( L ) . Adesso i dettagli.$L_2$$A(L)$

Partiamo dall'automa di (la chiamata è D F A L ). Supponiamo che dopo l'elaborazione x finiamo in uno stato q . Dobbiamo accettare se esiste y ∈ L 2 tale che se continuiamo da q lavorazione y finiremo in uno stato finale D F A L . Non esiste una macchina in grado di dirci se y è in L 2 , ma possiamo fare q uno stato finale di D F A A $L$$DFA_L$$x$$q$$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$$y$$L_2$$q$$DFA_{A_L}$se la condizione di cui sopra vale, ad esempio, se esiste qualche tale che se si comincia a q e processo y si finisce in uno stato finale D F A L .$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$

quindi per costruire esaminiamo ciascuno degli stati di D F A L e rendiamo ogni stato q uno stato accettante se possiamo prendere qualche y ∈ L 2 e questo y ci condurrà da q a uno stato accettante di D F A L .$DFA_{A_L}$$DFA_L$$q$$y\in L_2$$y$$q$$DFA_L$

Quindi ok, è infinito e potremmo non avere un computer per elencare tutte le parole in L 2 , ma tutto questo non ha importanza ... l'automa sopra è ben definito, anche se non riesco a disegnarlo a te stato per stato. Magia.$L_2$$L_2$

Non sono sicuro che tu stia cercando una risposta al problema o no, quindi non lo fornisco direttamente. (Posso se lo vuoi, però.)

Hai chiesto:

Cosa devo fare per analizzare correttamente quegli operatori e determinare se le lingue normali sono chiuse sotto di loro o no?

Il tuo approccio iniziale è positivo. Come per tutte le domande teoriche "aperte", dovresti avere un'idea intuitiva del fatto che sia vero o no. Di solito questo è provando esempi (sia comuni che marginali) o studiando casi speciali (ad esempio cosa succede se è regolare? Senza contesto?). Per questo problema, è necessario sviluppare alcune ipotesi sulla possibilità di creare un automa / regex per gli operatori o meno. Dopo di che:$L_2$

• Se si pensa che è possibile, è necessario essere in grado di costruire questo automa / regex per qualsiasi normale lingua di input .$L$
• Se ritieni di non poterlo trovare, in genere troverai le lingue di esempio e L 2 in modo tale che A x non sia chiusa.$L$$L_2$$A_x$

(e se un approccio non funziona, puoi sempre provare l'altro.)

Per il problema stesso:

Entrambi sono l'operatore quoziente giusto. (Credo che il quoziente di sinistra implichi lasciare il postfisso invece del prefisso.) La differenza tra i due è che mentre A r ( L ) = L / L 2 , dove L 2 è fissato in entrambi i casi.$A_l(L) = L_2 / L$$A_r(L) = L / L_2$$L_2$

Hai qualche intuizione su , quindi ecco qualcosa a cui pensare per A l : A l fornisce una versione modificata di L 2 . Poiché L 2 potrebbe essere non regolare, è possibile che A 1 lasci L 2 invariato? In tal caso, A l non è regolare in quel caso. Altrimenti, dovremo sostenere che A l rende L 2 regolare in tutti i casi.$A_r$$A_l$$A_l$$L_2$$L_2$$A_l$$L_2$$A_l$$A_l$ $L_2$