Rapporto di problemi decidibili

Considera i problemi di decisione dichiarati in un linguaggio formale "ragionevole". Diciamo formule nell'aritmetica di Peano di ordine superiore con una variabile libera come cornice di riferimento, ma sono ugualmente interessato ad altri modelli di calcolo: equazioni diottantine, problemi di parole derivanti dalla riscrittura delle regole usando le macchine di Turing, ecc. Una risposta espressa in qualsiasi la formalizzazione classica andrebbe bene, anche se se sai quanto la scelta della formalizzazione influenza la risposta, sarebbe interessante.

Data la lunghezza $N$ della dichiarazione di un problema di decisione, siamo in grado di definire il numero $D(N)$ di dichiarazioni decidibili di lunghezza $N$ e il numero $U(N)$ di affermazioni indecidibili di lunghezza $N$ .

Cosa si sa della crescita relativa di e ? In altre parole, se prendo a caso un problema di decisione ben formato, qual è la probabilità che sia decidibile per una data lunghezza di istruzione? $U(N)$ $D(N)$

_{Ispirato da questa domanda che chiede se "la maggior parte dei problemi e degli algoritmi [sono] decidibili". Bene, se non filtrate per interesse, vero?}

computability undecidability

— Gilles 'SO- smetti di essere cattivo'
fonte

Quindi, in sostanza, ti stai chiedendo quanto è decidibile una frazione di lingue descrivibili ? Se consideriamo tutte le lingue, questa frazione è ovviamente pari a 0 poiché ci sono innumerevoli lingue.

— Alex ten Brink

@AlextenBrink Più precisamente, sto chiedendo quanto una parte delle descrizioni delle lingue siano lingue decidibili. Potrebbe fare la differenza il numero di descrizioni equivalenti di una lingua è correlato alla sua decidibilità. PS Sentiti libero di modificare la mia domanda se non pensi che sia espressa chiaramente.

— Gilles 'SO-smetti di essere malvagio' il

Questo sembra in qualche modo correlato (e più complicato) alla costante di Chaitin, ma devo ancora trovare un modo per dire che non è calcolabile. en.wikipedia.org/wiki/Chaitin's_constant

D (N)

$D(N)$

— jmad

una domanda correlata: qual è la probabilità che una macchina di Turing a stato n casuale sia decidibile?

— Kaveh

Ecco una domanda simile su Matematica : Densità di fermare le macchine di Turing

— Kaveh

Vedi la ricerca di Chaitin su Omega che mostra, a quanto ho capito, che problemi indecidibili stanno [parafrasando] abbastanza numerosi, dilaganti o densi tra le affermazioni scelte a caso. Tuttavia, devi fare attenzione a come definisci e perché potrebbero essere funzioni effettivamente non calcolabili. Vi sono anche alcuni collegamenti con la ricerca di castori impegnati . Identificare affermazioni decidibili e indecidibili sembra abbastanza analogo a dimostrare che i castori indaffarati si fermano o non si fermano. (ad es. alcune di tutte le affermazioni sono nella forma "occupato castoro [x] si ferma"). $U(N)$ $D(N)$

— VZN
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Entrambe le funzioni sono, ovviamente, incomparabili in generale. Tuttavia non è escluso trovare limiti espliciti nel loro rapporto asintotico, così come si possono trovare limiti sul numero di stringhe non comprimibili di dimensione n.

— cody