Come posso verificare se un poligono è monotono rispetto a una linea?

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È noto che i poligoni monotoni svolgono un ruolo cruciale nella triangolazione dei poligoni .

Definizione: un poligono nel piano è chiamato monotono rispetto a una linea retta , se ogni linea ortogonale a interseca al massimo due volte. $P$ $L$ $L$ $P$

Data una linea e un poligono , esiste un algoritmo efficiente per determinare se un poligono è monotono rispetto a ? $L$ $P$ $P$ $L$

algorithms computational-geometry

— com
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Suggerimento: un poligono generico generico è monotono rispetto all'asse se e solo se ha esattamente un vertice il cui coordinato è più piccolo dei suoi vicini. Questa osservazione suggerisce immediatamente un algoritmo -time, almeno se nessun bordo del poligono è verticale. $x$ $x$ $O(n)$

Spoiler ahoy:

IsMonotone (X [0..n-1], Y [0..n-1])
    local_mins ← 0
    per i ← da 0 a n-1
        if (X [i] <X [i + 1 mod n]) e (X [i] <X [i-1 mod n])
            local_mins ← local_mins + 1
    return (local_mins = 1)

Se sei preoccupato che il tuo poligono possa avere bordi verticali, usa la seguente subroutine al posto del confronto X[i] < X[j]per rompere costantemente i legami:

IsLess(X, i, j):
    return ((X[i] < X[j]) or (X[i] = X[j] and i < j))

Infine, se è un'altra linea della forma , modifica come segue: $L$ $ax+by=c$ IsLess

IsLess(X, Y, i, j):
    Di ← a·X[i] + b·Y[i]
    Dj ← a·X[j] + b·Y[j]
    return ((Dj < Dj) or (Di = Dj and i < j))

— jeffe
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Ecco una spiegazione più informale, di alto livello e, si spera, intuitiva di un algoritmo per verificare se un poligono è "orizzontalmente monotono", cioè rispetto all'asse . $x$

Trova i vertici più a sinistra e più a destra (cioè i vertici del poligono con rispettivamente la coordinata min e max ), in tempo (ovvero iterare una volta l'elenco dei vertici). $x$ $\mathcal{O}(n)$
Questi due vertici dividono il confine del poligono in due curve: una catena superiore e una catena inferiore.
Cammina da sinistra a destra lungo ogni catena, verificando che le coordinate non diminuiscano. Questa operazione richiede tempo. $x$ $\mathcal{O}(n)$

— nbro
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