Possiamo mostrare che una lingua non è calcolabile in modo computabile mostrando che non esiste un verificatore per essa?

Una delle definizioni di un insieme calcolabile (ce, equivalente a ricorsivamente enumerabile, equivalente a semidecidabile) è la seguente:

è ce se esiste una lingua decidibile V ⊆ Σ ∗ (chiamato verificatore) st per tutte le x ∈ Σ ∗ ,$A \subseteq \Sigma^*$$V\subseteq \Sigma^*$$x\in \Sigma^*$

sse esiste un y ∈ Σ * v ⟨ x , y ⟩ ∈ V .$x\in A$$y\in\Sigma^*$$\langle x, y \rangle \in V$

Quindi un modo per dimostrare che una lingua non è ce è mostrare che non esiste un verificatore decidibile per esso. Questo metodo è utile per dimostrare che le lingue non sono ce in pratica?$V$

In pratica, di solito non proviamo solo che una lingua è ri o no. Se la lingua è ri, vogliamo sapere se è ricorsiva. Se non è re, vogliamo sapere che tipo di laurea ha, non solo che la laurea non è.

Ad esempio, se è un problema con P ′ ≡ T 0 ‴, allora non è re, ma quel fatto sul salto di Turing è più informativo di sapere che non è re$P$$P' \equiv_T 0'''$$P$$P$

Quindi, mentre, in linea di principio, è possibile dimostrare che una lingua non viene ripetuta dimostrando che non esiste un verificatore, in pratica è più istruttivo dimostrare che la lingua non è ripetuta dimostrando che calcola qualcosa che nessuna reimpostazione può calcolare; la natura di quel "qualcosa" in genere fornisce informazioni utili sul problema oggetto di studio.

Per chiarire la terminologia che uso chiaro: decidable = recursive = computable, semidecidable = ricorsivamente enumerable = computably enumerable, co-semidecidable = co-recursively enumerable = co-computably enumerable.

In pratica, un metodo comune per dimostrare che una lingua non è semidecidabile è mostrare che non è decidibile e che è semidecidibile. Quindi fai uso del fatto che qualsiasi linguaggio che sia sia semidecidabile sia semidecidabile è anche decidibile per concludere che la tua lingua non è semidecidibile. (nota che questo funziona solo in una direzione: una lingua non può essere né semidecidibile né semidecidibile, nel qual caso hai bisogno di qualche altro metodo)

$\mathrm{CFG}$$\mathrm{CFG}$

Un altro metodo è mostrare che la lingua è completa per un livello superiore della gerarchia aritmetica .

È ovviamente possibile provare direttamente che non esiste un verificatore, ma questo è spesso noioso, poiché di solito ripete la prova che il problema dell'arresto è indecidibile. Si noti tuttavia che l'argomento di cui sopra dimostra essenzialmente implicitamente che non può esserci alcun verificatore, quindi immagino che potresti dire che è un metodo per dimostrare che non esiste un verificatore, ma quindi potresti considerare qualsiasi prova di non semidecidabilità come una prova che esiste nessun verfier.