Qual è l'algoritmo più veloce per la moltiplicazione di due numeri a n cifre?

Voglio sapere quale algoritmo è il più veloce per la moltiplicazione di due numeri a n cifre? La complessità dello spazio può essere rilassata qui!

Al momento l'algoritmo di Fürer di Martin Fürer ha una complessità temporale di che utilizza trasformazioni di Fourier su numeri complessi. Il suo algoritmo si basa in realtà sull'algoritmo di Schönhage e Strassen che ha una complessità temporale di$n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

Altri algoritmi che sono più veloci dell'algoritmo di moltiplicazione della scuola elementare sono la moltiplicazione di Karatsuba che ha una complessità temporale di ≈ e l'algoritmo Toom 3 che ha una complessità temporale diO ( n 1.585 ) Θ ( n 1.465$O(n^{\log_{2}3})$$O(n^{1.585})$$Θ(n^{1.465})$

Si noti che questi sono gli algoritmi veloci. Trovare algoritmo più veloce per la moltiplicazione è un problema aperto in Informatica.

Riferimenti :

1. Algoritmo di Fürer
2. Moltiplicazione basata su FFT di grandi numeri
3. Trasformata di Fourier veloce
4. Moltiplicazione Toom – Cook
5. Algoritmo di Schönhage – Strassen
6. Algoritmo di Karatsuba

Si noti che gli algoritmi FFT elencati da avi aggiungono una grande costante, rendendoli poco pratici per numeri inferiori a migliaia + bit.

Oltre a tale elenco, ci sono altri algoritmi interessanti e domande aperte:

• Moltiplicazione del tempo lineare su un modello RAM (con precomputazione)
• La moltiplicazione per una costante è sublineare ( PDF ) - questo significa un numero sublineare di aggiunte che ottiene per un totale dicomplessità bit. Ciò è essenzialmente equivalente alla lunga moltiplicazione (in cui si sposta / aggiunge in base al numero di1s nel numero inferiore), che èO(n2), ma con unavelocitàO(logn).$\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• Sistema di numerazione dei residui e altre rappresentazioni di numeri; la moltiplicazione è tempo quasi lineare. Il rovescio della medaglia è che la moltiplicazione è modulare e {rilevamento di overflow, parità, confronto di magnitudo} sono tutti duri o quasi tanto difficili quanto convertire il numero in rappresentazione binaria o simile e fare il confronto tradizionale; questa conversione è almeno negativa quanto la moltiplicazione tradizionale (al momento, AFAIK).
  • Altre rappresentazioni:
    • $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • L'aspetto negativo è che la conversione da e verso la rappresentazione logaritmica può essere dura quanto la moltiplicazione o più difficile, la rappresentazione può anche essere frazionaria / irrazionale / approssimativa ecc. Altre operazioni (addizione?) Sono probabilmente più difficili.
    • $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • Il rovescio della medaglia è, richiede fattori o fattorizzazione, un problema molto più difficile della moltiplicazione. Altre operazioni come l'addizione sono probabilmente molto difficili.