Percorso più breve non intersecante per un grafico incorporato in un piano euclideo (2D)

Quale algoritmo useresti per trovare il percorso più breve di un grafico, che è incorporato in un piano euclideo, in modo tale che il percorso non dovrebbe contenere autointersezioni (nell'incorporamento)?

Ad esempio, nel grafico seguente, si desidera passare da . Normalmente, un algoritmo come l'algoritmo di Dijkstra produrrebbe una sequenza come:$(0,0) \rightarrow (-3,2)$

Grafico completo:

Percorso più breve:

Percorso più breve non intersecante:

Tuttavia, questo percorso si interseca sul piano euclideo, quindi voglio un algoritmo che mi dia la sequenza non intersecante più breve, in questo caso:

Questo percorso è più lungo del percorso più breve, ma è il percorso più breve non intersecante.

Esiste un algoritmo (efficiente) che può fare questo?

Fonti TikZ

• Grafico completo .
• Percorso più breve .
• Percorso non intersecante più breve .

È NP-completo anche decidere se esiste un percorso.

È chiaramente possibile verificare che un determinato percorso sia un percorso valido nel grafico dato. Quindi il problema della lunghezza limitata è in NP, così come il suo sottoinsieme, il problema di qualunque percorso.

Ora, per dimostrare la durezza NP del problema di qualunque percorso (e quindi del problema della lunghezza limitata), riduciamo il SAT-CNF a questo problema:

La struttura globale è una griglia di pezzi di filo collegati da una colonna di pezzi di clausola. La formula logica è soddisfacente se esiste un percorso non intersecante attraverso il grafico.

È impossibile attraversare due tratti del percorso, ma è necessario incrociare due fili logici. Piuttosto, il flusso del percorso è dato rigorosamente: un punto filo è dato da due nodi. La sequenza dei punti del filo attraverso cui passa il percorso è forzata dalla riduzione. La logica è rappresentata dal nodo scelto. È possibile scegliere qualsiasi percorso purché attraversi tutti i punti del filo.

In questo diagramma, il percorso è rappresentato dalla curva rossa e il flusso logico è rappresentato dai fili neri:

Ora costruiamo ogni componente.

Il cablaggio utilizza tre tessere: l'incrocio, il punto di diramazione e il filo verticale. Cominciamo con il più difficile:

L'idea di base dietro l'incrocio è preparare un percorso per ogni coppia di punti di filo e piegare abbastanza i possibili percorsi in modo che tutte le coppie tranne quelle che codificano la stessa logica (percorsi compatibili) si incrociano. Naturalmente non possiamo semplicemente dire che due bordi paralleli si intersecano, ma possiamo introdurre nodi di ordine 2 aggiuntivi per far intersecare due percorsi.

Supponendo che i percorsi provengano da nord a ovest e da sud a est, possiamo: raccogliere ogni percorso da nord con il suo percorso compatibile da est su una linea (alcuni percorsi incompatibili si incrociano); incrociare ciascuna coppia tra loro invertendo l'ordine delle coppie; distribuire i percorsi ai loro punti finali sud e ovest. Questo è meglio spiegato da un diagramma. Qui, ogni coppia di nodi rappresenta un punto filo. I percorsi con lo stesso codice colore (con la stessa logica) non si intersecano, i percorsi con un codice colore diverso fanno:

Il punto di diramazione e il filo verticale funzionano allo stesso modo, ma ci sono meno percorsi per correlare:

$\neg A \vee \neg B$

È possibile generalizzare questa riduzione per codificare un albero arbitrario di porte AND e OR ramificando il filo di lettura in modo diverso. In particolare, SAT-CNF e SAT-DNF sono entrambi possibili per ridurre al problema del percorso non intersecante nel modo sopra descritto.

il problema sembra risalire a Turan nel 1944. sembra un buon sondaggio di teoria e algoritmi, il numero di grafici incrociati: teoria e calcolo di Mutzel. Wikipedia ha alcune informazioni sotto l' incrocio del numero di grafici