Spazio di stato raggiungibile di un 8 puzzle

Ho appena iniziato a studiare l'intelligenza artificiale e mi chiedo perché lo spazio di stato raggiungibile di un 8 puzzle sia $9!/2$ . Vedo che il numero di permutazioni delle tessere è $9!$ ma non è immediatamente ovvio il motivo per cui metà dei possibili stati del puzzle sono irraggiungibili in un dato stato. Qualcuno può elaborare?

L'immagine di un 8 puzzle per riferimento con una configurazione casuale a sinistra e lo stato obiettivo a destra:

Esempio di 8 puzzle

artificial-intelligence

— Camera
fonte

Poiché il grafico dello stato è costituito da due componenti disconnessi di uguale dimensione (il numero totale di inversioni di permutazione di ogni stato è invariante modulo 2, quindi due stati che hanno un numero totale di inversioni di permutazione dispari e persino non sono collegati); Non ho trovato un esempio ben spiegato, ma questa presentazione dovrebbe essere abbastanza chiara per farti capire (tranne il refuso "connesso" che dovrebbe essere sostituito con "disconnesso")

— Vor

@Vor si trasforma in una risposta?

— Yuval Filmus,

Questa è un'espansione di questa presentazione .

Perché il grafico di stato è costituito da due componenti disconnessi di uguale dimensione. Senza perdita di generalità possiamo supporre che lo stato target sia . $1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

Dato uno stato un'inversione permutazione è una piastrella che viene posizionato dopo ma ; questo accade quando (a) è nella stessa riga di , ma alla sua destra, oppure (b) è nella riga inferiore: $S$ $T_i$ $T_j$ $i < j$ $T_i$ $T_j$ $T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

Definiamo come il numero di tessere , che appare dopo . Ad esempio, nello stato: $N_j$ $T_i$ $i < j$ $T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

abbiamo che dopo c'è una tessera ( ) che dovrebbe essere prima di essa, quindi ; dopo ci sono quattro tessere ( ) che dovrebbero essere prima di essa, quindi . $T_{7}$ $T_6$ $N_7=1$ $T_{10}$ $T_7, T_8, T_9, T_6$ $N_{10}=4$

Sia la somma di tutti e il numero di riga della tessera vuota $N$ $N_i$ $T_{\Box}$

N = \sum_{i = 1}^{15} N_{i} + r o w (T_{◻})

$N = \sum_{i=1}^{15} N_i + row(T_{\Box})$

Nell'esempio sopra abbiamo: $N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

$N$ $N$

Per esempio:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

$N \bmod 2$

Possiamo concludere che lo spazio degli stati è diviso in due metà disconnesse , una con e l'altra con . $N \bmod = 0$ $N \mod 2 = 1$

Ad esempio i seguenti due stati non sono collegati:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5

— vor
fonte

Questo è il caso di un 15 puzzle, ma sembra che il risultato possa essere generalizzato anche per un 8 puzzle. Grazie!

— Cam