tagli a ghigliottina rispetto a tagli generali

I problemi di taglio sono problemi in cui un determinato oggetto di grandi dimensioni dovrebbe essere tagliato a più piccoli oggetti. Per esempio, immaginate di avere una fabbrica che funziona con grandi lastre di vetro grezzo, di larghezza e la lunghezza . Esistono diversi acquirenti, ognuno dei quali desidera un numero illimitato di piccole lastre di vetro. Compratore fogli di lunghezza e larghezza . Il tuo obiettivo è quello di tagliare fogli piccoli da quello grande, in modo tale da massimizzare il totale utilizzato e ridurre al minimo gli scarti (ci sono anche altri tipi di problemi di taglio e imballaggio ).$W$$L$$i$$l_i$$w_i$

Una restrizione comune nei problemi di taglio è che i tagli devono essere tagli a ghigliottina , cioè ogni rettangolo esistente può essere tagliato solo in due rettangoli più piccoli; è impossibile realizzare forme a L ecc. Ovviamente, l'area massima utilizzata con tagli a ghigliottina potrebbe essere più piccola dell'area massima utilizzata senza restrizioni.

La mia domanda è: ci sono limiti superiori e inferiori sul rapporto tra il taglio ottimale della ghigliottina e il taglio generale ottimale?

Lavori correlati: Song et al. (2009) descrivono un algoritmo che utilizza un tipo limitato di tagli a ghigliottina - tagli a doppia ghigliottina . Dimostrano, usando vincoli geometrici, che il rapporto tra il taglio massimo della doppia ghigliottina e il taglio massimo della ghigliottina è limitato da . Sto cercando un risultato comparabile sul rapporto tra il taglio massimo della ghigliottina e il taglio generale massimo.$\frac{6}{7}$

Anche se questo non è stretto, posso offrire limiti inferiore e superiore di e 3 / 4 sul peggiore rapporto caso tra i tagli a ghigliottina e tagli generali.$1/4$$3/4$

Cominciamo dal limite superiore e supponiamo che ci venga dato un pezzo di vetro quadrato con una lunghezza laterale di . Inoltre, abbiamo esattamente un acquirente interessato a lastre di vetro rettangolari di larghezza 1 - ε e lunghezza 1 + ε . Utilizzando tagli generici, la soluzione ottimale assomiglia a quella della figura seguente, con quattro dei rettangoli desiderati disposti attorno a un quadratino di lunghezza laterale ε nel mezzo.$2$$1-\varepsilon$$1+\varepsilon$$\varepsilon$

È facile vedere che questo modello di taglio non può essere raggiunto con tagli a ghigliottina. In effetti, qualsiasi modello di taglio che utilizza tagli a ghigliottina può adattarsi al massimo a 3 dei rettangoli desiderati nel quadrato originale. Come risultato, il peggior rapporto tra i tagli a ghigliottina e tagli generali è almeno .$3/4$

$W$$L$$i$$w_i \leq W$$l_i \leq L$$i$

$i$$1/4$

Sono consapevole che il limite inferiore è piuttosto debole e può probabilmente essere migliorato con un po 'più di lavoro. Ma è un inizio.