Ci sono proprietà indecidibili di automi non turing completi?

15

Ci sono proprietà indecidibili di automi limitati lineari (evitando il trucco del linguaggio set vuoto)? Che dire di un automa deterministico finito? (metti da parte l'intrattabilità).

Vorrei fare un esempio (se possibile) di un problema indecidibile che viene definito senza usare esplicitamente le macchine di Turing .

La completezza di Turing di un modello è necessaria per supportare problemi indiscutibili?

computability automata undecidability

— Hernan_eche
fonte

"Esiste una soluzione per questo sistema di equazioni diofantantiche?" È questo che stai chiedendo? Non mi è chiaro quello che vuoi. Ma il problema che ho dato è indecidibile e non menziona TM, quindi, a rigor di termini, sembrerebbe soddisfare i requisiti del tuo secondo paragrafo.

— rgrig,

Decidere se due automi pushdown riconoscono le stesse parole è indecidibile, così come altri problemi relativi agli automi pushdown . Non riesco a pensare a problemi indecidibili che coinvolgono DFA.

— jmad

1

La risposta alla domanda "È possibile creare un problema indecidibile per un automa meno potente di una macchina di Turing" è sì . In effetti, per ogni tipo di automa si può sempre identificare un problema indecifrabile.

— Amelio Vazquez-Reina

1

Data la risposta accettata, ho riformulato la domanda per porre ciò che (a quanto pare) l'OP vuole.

— Raffaello

15

Problemi indecidibili su grammatiche libere dal contesto, e quindi anche accettori pushdown, che sono TM limitate da Wikipedia ...

Dato un CFG, genera la lingua di tutte le stringhe sull'alfabeto dei simboli terminali usati nelle sue regole?
Dati due CFG, generano la stessa lingua?
Dati due CFG, il primo può generare tutte le stringhe che il secondo può generare?

Ce ne sono molti altri su CFG / PDA così come CSG / LBA e molti altri modelli "più semplici della TM".

— David Lewis
fonte

+1, grazie, sono ancora tentato di chiedere qualcosa di più semplice di CFG, e così via .. per scoprire qual è il primo (più semplice) automa conosciuto + problema a essere indecidibile

— Hernan_eche

3

Per trovare un problema "più semplice" o "più semplice" che sia indecidibile o che abbia qualche proprietà, avresti bisogno di una definizione precisa di "semplice", di cui molti sono possibili. Ma quello classico negli automi e nei linguaggi formali è "livello nella gerarchia di Chomsky" (che non è in gran parte una gerarchia, dal punto di vista matematico - era originariamente proposto per grammatiche del linguaggio naturale). L'FSA è il più basso, e sono abbastanza sicuro che qualsiasi problema indecidibile per gli FSA dovrebbe riferirsi in qualche modo "essenziale" a formalismi "meno semplici" (tutti che necessitano di una definizione precisa). Il CFL / CFG è il successivo più alto, quindi l'ho scelto.

— David Lewis,

+1 Sono d'accordo, trovo che anche il minimo sia indecidibile, sorprendentemente non è possibile costruire un problema indecidibile per FSA, quindi è possibile per CFG, è solo la tentazione di trovare qualcosa nel mezzo, grazie

— Hernan_eche

1

@Hernan_e - esiste una struttura molto ricca di modelli e linguaggi sub-CFL - ad esempio il pda / famiglia a 1 contatore, che utilizza un "contatore" intero positivo anziché un pda; il n-turn pda, che consente solo un turno dall'aumentare alla diminuzione dello stack e generalizzazioni di quelli. E ci sono molte questioni indecidibili su queste, così come domande aperte sulle strutture, per esempio: c'è un CFL "normale" non regolare in qualche nozione precisa di "minimo". Ma questa roba è di solito a livello di laurea e / o di ricerca.

— David Lewis,

7

Non è chiaro cosa si sta ponendo nella parte successiva della domanda principalmente perché non è stato definito "un problema relativo a un modello di macchina".

Vorrei avere un esempio (se possibile) di problemi indecidibili senza la necessità di Turing Machine

Sia una classe di macchine e utilizzi come codice di . Possiamo interpretare anche come il codice di ° TM e poi chiedere che data fa la esima TM battuta d'arresto? E questo problema su è indecidibile. $\{M_i\}$ $i$ $M_i$ $i$ $i$ $M_i$ $i$ $M_i$

Una lingua è solo un insieme di stringhe, quale interpretazione assegnate alle stringhe non ha alcun effetto sulla decidibilità della lingua. A meno che non si definisca formalmente ciò che si intende per modello di macchina e un problema relativo a tali macchine, non è possibile rispondere alle domande successive.

Turing è il macchinario minimo per supportare un problema indecidibile?

Ancora una volta, si applica il punto che ho menzionato sopra. Una domanda più ragionevole sarebbe: tutte le prove di indecidibilità passano attraverso qualcosa di simile all'indecidibilità di fermare il problema per le TM? (La risposta è: ci sono altri modi).

Un'altra possibile domanda è: qual è il sottoinsieme più piccolo di TM in cui il problema di arresto per loro è indecidibile. Ovviamente una tale classe dovrebbe contenere problemi che non si fermano (altrimenti il problema è banalmente decidibile). Possiamo facilmente creare sottoinsiemi artificiali di TM in cui il problema dell'arresto non è decidibile senza poter calcolare qualcosa di utile. Una domanda più interessante riguarda le grandi serie decidibili di TM in cui l'arresto è decidibile per loro.

Ecco un altro punto: non appena si ha una capacità molto piccola di manipolare i bit (ad es. Una dimensione polinomiale ) è possibile creare una macchina con tre ingressi: , e modo che emetta 1 sef è un interrompere l'accettazione del calcolo di TM sull'ingresso . Quindi è possibile fare le problemi come: esiste un st è 1? che è un problema indecidibile. $\mathsf{CNF}$ $N$ $e$ $x$ $c$ $c$ $M_e$ $x$ $c$ $N(e,x,c)$

— Kaveh
fonte

5

$\Sigma \cup \bar\Sigma$ $\bar\Sigma$ $A$ $\Sigma\cup\bar\Sigma$ $a a \bar a \bar a b\bar b \bar aa$ $aaba$

Sì, questo è un problema post corrispondenza nascosto in un automa a stati finiti. La completezza di Turing è tutt'altro che ovvia nella domanda. È lì, sullo sfondo, mentre le due copie (non sbarrate e sbarrate) codificano insieme una coda, che a sua volta è di Turing.

— Hendrik Jan
fonte

hai un riferimento su questo? non è ovvio come convertire PCP in questo. a proposito ci sono anche alcuni problemi indecidibili con i "trasduttori" di FSM.

— vzn

1

(u_{1}, \dots, u_{n})

$(u_1,\dots,u_n)$

(v_{1}, \dots, v_{n})

$(v_1,\dots,v_n)$

{u_{1} {\bar{v}}_{1}, \dots, u_{n} {\bar{v}}_{n}}^{+}

$\{ u_1\bar v_1, \dots, u_n\bar v_n \}^+$ , where

\bar{v}

$\bar v$ is the barred copy of

v

$v$ . I am afraid I do not have a reference.

— Hendrik Jan

3

"Is it possible to build an undecidable problem for an automaton less powerful than a Turing Machine?"`

Yes. An automaton is a consistent axiomatic formulation of number theory (e.g. see (1)) and therefore by Gödel's 1st incompleteness theorem it must include undecidable propositions.

Example:

Any problem that is undecidable for a TM is also undecidable for any automaton that a TM can simulate. Why? Because if an automaton that is less powerful than a TM could decide a language that a TM cannot decide, a TM should be able to decide it by simulating the automaton with yields a contradiction.

— Amelio Vazquez-Reina
fonte

2

The question of whether or not an LBA halts is also decidable for a TM, so it was not part of the examples I provided in my answer. Any problem that is undecidable for a TM is also undecidable for an LBA.

— Amelio Vazquez-Reina

1

The second statement is false for any interpretation because the halting problem is recursive for LBAs but not for TMs. For TMs it's recursively enumerable, and if you want to stretch terminology and call both "decidable", then consider the co-halting problem for both -- recursive for LBAs but not even recursively enumerable for TMs. As for the first statement, anything "non-contrived" for finite state automata is recursive. We could always use "Does this FSA accept exactly

{T | T M T h a l t s o n i n p u t T}

$\{T|TM T halts on input T\}$ which is clearly not decidable, but that's contrived. That can probably be formalized.

— David Lewis

1

@roseck -- first a correction:

{T | TM T (T) halts}

$\{T|\text{ TM } T(T) \text{ halts}\}$ . Second I am quite confused by your statement and reply -- neither of your links justifies the statements that they display; both are general articles.

— David Lewis

1

@DavidLewis roseck isn't claiming that an undecidable problem about TMs is still undecidable if you reinterpret it as being about LBAs. roseck simply states that if there is a problem that cannot be decided by TMs then the exact same problem with no reinterpretation also cannot be decided by anything a TM can simulate. The TM-halting problem and the LBA-halting problem are two different problems.

— Ben

1

@Ben -- if so, then "...undecidable for any automaton that..." would have to be "by". But that is a trivial statement.

— David Lewis

1

Emil Post wanted to find the answer to exactly this question: Is there a non-recursive (non-computable) set which does not solve the halting problem. He succeeded only in part, but what he did, was create what is called simple sets.

From Wikipedia:

A subset of the naturals is called simple if it is co-infinite and recursively enumerable, but every infinite subset of its complement fails to be enumerated recursively. Simple sets are examples of recursively enumerable sets, that are not recursive. Have a look at the Wikipedia article for more information and references, simple set.

— Pål GD
fonte