sottoinsiemi di insiemi ricorsivi infiniti

Una domanda d'esame recente è stata la seguente:

$A$ è un insieme infinito ricorsivamente enumerabile. Dimostra che ha un sottoinsieme infinito ricorsivo. $A$

Lascia essere un sottoinsieme ricorsiva infinita di . deve avere un sottoinsieme non enumerabile ricorsivamente? $C$ $A$ $C$

Ho già risposto 1. Riguardo a 2., ho risposto affermativamente e ho sostenuto quanto segue.

Supponiamo che tutti i sottoinsiemi di fossero enumerabili ricorsivamente. Poiché è infinito, l'insieme di potenze di non è numerabile, quindi per ipotesi ci sarebbero innumerevoli insiemi ricorsivamente enumerabili. Ma i set ricorsivamente enumerabili sono in corrispondenza uno a uno con le macchine di Turing che le riconoscono e le macchine di Turing sono enumerabili. Contraddizione. Quindi deve avere un sottoinsieme che non è enumerabile ricorsivamente. $C$ $C$ $C$ $C$

È corretto?

computability check-my-proof

— user1435
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Alla fine non è del tutto corretto, perché ogni reimpostazione è elencata da infinitamente molte macchine Turing, non solo da una. Puoi aggirare questo, però.

— Carl Mummert,

@Carl: Ah, giusto, grazie - errore sciocco. Ma tutto ciò di cui ho bisogno è un'iniezione nelle TM, non una biiezione, giusto? E sulla definizione di Turing-calcolabile con cui la mia classe ha lavorato, ogni TM è associata a una e una sola funzione. Quindi diversi set -> diverse funzioni di riconoscimento -> diversi TM che li calcolano.

— user1435,

! user1435: stai invertendo le cose nell'ultima frase. Ogni macchina di Turing calcola una singola funzione, ma ogni funzione calcolabile è ottenuta da un'infinità di macchine di Turing.

— Carl Mummert,

Ma se la mia funzione f mappa {funzioni di riconoscimento da r} a {TM} tramite f (r) = una qualsiasi delle infinite TM che la calcolano, ho un'iniezione, giusto? Oppure suppongo che potrei semplicemente partizionare {TM} per una relazione di equivalenza ~ che identifichi l'infinito di TM che calcolano la stessa funzione, e quindi mappino r sulla classe di equivalenza appropriata.

— user1435,

Carl ha ragione, non sono in una corrispondenza uno a uno, ogni serie ce corrisponde a infinitamente molte TM. Considerando altri insiemi di oggetti come fai nel tuo commento non cambia nulla, non sono l'insieme di TM.

— Kaveh,

È corretto.

Ogni insieme infinito ha un sottoinsieme indecidibile, è possibile utilizzare l'argomento cardinalità: . In effetti la maggior parte dei suoi sottoinsiemi sono indecidibili (e puoi sostituirli indecidibili con qualsiasi classe numerabile di lingue, ad esempio, aritmetica , analitica , ...). $\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

La cosa negativa di questo argomento è che non fornisce alcuna informazione sulla difficoltà del sottoinsieme. Di solito vogliamo un sottoinsieme che sia il più semplice possibile. Un modo per ottenerlo è usare una diagonalizzazione simile all'argomento della cardinalità usando il fatto che è decidibile: $C$

Definire , dove è l'insieme th ce. Ovviamente . Inoltre può essere risolto con un oracolo per e . Quindi se è decidibile, allora è un linguaggio co-ce. $D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— Kaveh
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"Ogni set infinito ha un sottoinsieme indecidibile." Questo è più debole dell'affermazione che ho cercato di dimostrare. Ho provato a dimostrare che C deve avere un sottoinsieme non RE, non un sottoinsieme non decidibile. La mia richiesta è ancora corretta?

— user1435,

Sì. Il termine "indecidibile" è un po 'sovraccarico (Wikipedia ha una buona discussione ). Quindi questa risposta probabilmente significa ciò che stai cercando di dimostrare.

— David Lewis,

@utente1435, sì, lo stesso argomento funziona per qualsiasi classe di lingue numerabili, ho aggiornato la domanda per chiarire.

— Kaveh,