Breve e chiara dimostrazione del forte teorema della dualità per la programmazione lineare

Considera i programmi lineari

\begin{array}{ccc} P r i m a l : & A \vec{x} \leq \vec{b} & max {\vec{c}}^{T} \vec{x} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{ccc} D u a l : & \vec{c} \leq {\vec{y}}^{T} A & min {\vec{y}}^{T} \vec{b} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$

Il teorema della dualità debole afferma che se e soddisfano i vincoli, allora . Ha una dimostrazione breve e brillante usando l'algebra lineare: . $\vec{x}$ $\vec{y}$ $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$

Il forte teorema della dualità afferma che se il $\vec{x}$ è una soluzione ottimale per il primitivo, allora c'è $\vec{y}$ che è una soluzione per il doppio e $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$ .

Esiste una prova altrettanto breve e brillante per il forte teorema della dualità?

— Kaveh
fonte

Il capitolo 4 del corso online MIT web.mit.edu/15.053/www di Bradley, Hax e Magnanti fornisce una prova ragionevolmente breve in tal senso. È questo quello che stai cercando?

— cody

@cody, beh, sembra sostanzialmente uguale a quello in CLRS. Può andare bene se riesci ad esprimerlo in un modo algebrico lineare liscio (cioè senza somme).

— Kaveh,

Sembra che ciò che volevo non fosse probabilmente possibile. Il Farkas usa la chiusura dello spazio, il che significa che probabilmente non esiste una pura algebra lineare.

— Kaveh,

Cercare di trovare qualcosa di non troppo ingombrante da solo, per mostrare ai miei studenti (quindi non devono semplicemente prendere una forte dualità sulla fede), e la maggior parte di ciò che ho incontrato è più nella categoria troppo ingombrante. Ho appena trovato un argomento nelle note di una classe di Dan Spielman, che è piuttosto breve e apparentemente semplice. Non sei sicuro che stia nascondendo qualche complessità o se manchi qualcosa? (Non l'ho ancora esaminato abbastanza approfonditamente per dirlo.) Cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf

— Magnus Lie Hetland

Ah, immagino che un punto centrale sia l'interpretazione geometrica della lezione precedente, che ci riporta alla famiglia di prove Simplex: cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect11/lect11.pdf

— Magnus Lie Hetland

Probabilmente no. Ecco un argomento concettuale basato su

Farkas Lemma : Esattamente una delle seguenti alternative ha una soluzione:

$Ax \le b$ e $x \ge 0$

$y^TA\ge 0$ e $y^Tb < 0$

Ora sia il valore obiettivo ottimale del primordiale. Sia arbitrario. Lascia che sia $\delta$ $\epsilon > 0$ $A'$ $A$ con un ulteriore come ultima riga. Lascia che sia con un ulteriore come ultimo valore. $-c^T$ $b'$ $b$ $-\delta - \epsilon$

Il sistema non ha soluzione. Secondo Farkas, esiste un tale che: $A'x'\le b'$ $y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$ e . $y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

Nota che se ci troviamo nell'altra alternativa di Farkas. Pertanto . $\epsilon = 0$ $\alpha > 0$

Scala modo che . è fattibile doppio. La debole dualità implica $y'$ $\alpha = 1$ $y$ $\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$ .

— Louis
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Penso che questa sia la prova negli appunti di Jeff Erickson . Sto cercando qualcosa che eviti la roba epsilon (come pura algebra lineare).

— Kaveh,

Ciò che JeffE ha è un po 'diverso e spiega di più la geometria. Ad ogni modo, non troverai ciò che desideri, nel senso che la regione possibile è un poliedro, non uno spazio lineare, quindi alla fine qualcosa dovrà servirsene. (Qui si nasconde a Farkas. Il libro di Gärtner e Matoušek è davvero un ottimo riferimento per questa roba. Sono abbastanza sicuro che questa prova ci sia.)

— Louis