Esiste una TM che si ferma su tutti gli input ma quella proprietà non è provabile?

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Esiste una macchina di Turing che si ferma su tutti gli input ma quella proprietà non è dimostrabile per qualche motivo?

Mi chiedo se questa domanda sia stata studiata. Si noti che "non dimostrabile" potrebbe significare un sistema di prova "limitato" (che nel senso debole pensa che la risposta debba essere sì). Sono ovviamente interessato alla risposta più forte possibile, vale a dire una che non è dimostrabile fermarsi su tutti gli input nella teoria degli insiemi ZFC o altro.

Mi è venuto in mente che questo potrebbe essere vero per la funzione Ackermann, ma sono confuso sui dettagli. Non sembra che Wikipedia descriva chiaramente questo aspetto.

— VZN
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L'aritmetica di Peano è sufficiente per dimostrare che la funzione di Ackermann è totale: si tratta dell'esercizio 17 dell'Introduzione alle note di PA di Jaap van Oosten .

— David Richerby,

totale calcolabile fn defn wikipedia. nota che questa domanda è stata in parte motivata dall'esaminare il collatz fn dove si tratta di una domanda aperta a lungo correlata ...

— vzn

2

Questa è un'osservazione sciocca, ma nota che per ogni macchina di Turing M che termina su tutti gli input, la teoria è una teoria coerente. Ma usando il teorema di Gödels possiamo dimostrare che non esiste un'unica teoria ricorsiva in grado di provare la fine di tutte queste macchine.

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— cody,

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Sì. La macchina di Turing che calcola la sequenza di Goodstein a partire dal suo input e termina quando la sequenza raggiunge lo zero. Termina sempre, ma ciò non può essere dimostrato nell'aritmetica di Peano. Sono sicuro che ci sono cose equivalenti per ZFC o qualsiasi altro sistema che potresti scegliere.

Modifica Per ZF, Hartmanis e Hopcroft dimostrano che esiste una macchina Turing che rifiuta ogni input ma che ciò non può essere provato in ZF. Non sono sicuro che ZF possa dimostrare che si ferma sempre, ma certamente non può dimostrare che la macchina "Se accetta allora ciclo per sempre, altrimenti stop" si ferma sempre, anche se lo fa. Questo lascia ancora aperto ZFC ma ZF è più potente di PA. $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

Vedi Sez. 3 dell'indagine di Scott Aaronson sull'indipendenza di P = NP per un'esposizione del risultato Hartmanis-Hopcroft e citazioni ai loro documenti originali.

— David Richerby
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Informazioni sull'aggiunta dell'assioma di scelta: ZFC non può fare meglio di ZF per affermazioni "semplici" come un problema di arresto (in questo caso

se non sbaglio). Questo perché ZF e ZFC dimostrano esattamente le stesse dichiarazioni

.

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

— cody,

6

Prendi una teoria che è almeno altrettanto forte dell'aritmetica "di base" e che è ricorsivamente enumerabile (è possibile enumerare ogni teorema di ). ${\cal T}$ ${\cal T}$

Costruire la seguente macchina , che si comporta come segue sull'input : $M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

È abbastanza facile mostrare usando il secondo teorema di incompletezza che non può dimostrare che termina su tutti gli input (se è coerente). ${\cal T}$ $M$

Questo ovviamente funziona per , , , ... purché siano coerenti. ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— cody
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Alcuni non dimostrabili in PA ma veri teoremi possono essere convertiti in macchine di Turing. Ad esempio, esiste un teorema di Ramsey (versione rafforzata) , non dimostrabile in PA, e possiamo costruire una macchina che cercherebbe semplicemente la giusta . $N$

— Daniil
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