Lemma di pompaggio per semplici lingue regolari finite

Wikipedia ha la seguente definizione del lemma di pompaggio per i linguaggi regolari ...

Sia un linguaggio regolare. Quindi esiste un numero intero ≥ 1 che dipende solo da tale che ogni stringa in di lunghezza almeno ( è chiamata "lunghezza di pompaggio") può essere scritta come = (ovvero, può essere diviso in tre sottostringhe), soddisfacendo le seguenti condizioni:$L$$p$$L$$w$$L$$p$$p$$w$$xyz$$w$

1. | | ≥ 1$y$
2. | | ≤$xy$$p$
3. per tutti ≥ 0, ∈$i$$xy^iz$$L$

Non vedo come questo sia soddisfatto per un semplice linguaggio normale finito. Se ho un alfabeto di { } e un'espressione regolare allora costituito dall'unica parola che è seguita da . Ora voglio vedere se il mio linguaggio normale soddisfa il lemma del pompaggio ...$a,b$$ab$$L$$a$$b$

Poiché nulla si ripete nella mia espressione regolare, il valore di deve essere vuoto in modo che la condizione 3 sia soddisfatta per tutti . Ma se è così, allora fallisce condizione 1 che dice deve essere di almeno 1 di lunghezza!$y$$i$$y$

Se invece lascio essere sia , o , allora soddisferanno condizione 1 ma sicuro condizione 3 perché mai effettivamente si ripete.a b a $y$$a$$b$$ab$

Mi manca ovviamente qualcosa di incredibilmente ovvio. Che è?

Hai ragione - non possiamo permettere parole "di pompaggio" di una finita $L$. La cosa che ti manca è che il lemma dice che esiste un numero , ma non ci dice il numero.$p$

Tutte le parole più lunghe di possono essere pompate dal lemma. Per un finita L , avviene in modo che p è maggiore della lunghezza della parola più lunga L . Pertanto, il lemma vale solo vacuamente e non può essere applicato a nessuna parola in L , cioè qualsiasi parola in L non soddisfa la condizione di "avere almeno la lunghezza p " come richiede il lemma.$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

Un corollario: se ha una lunghezza di pompaggio p , e esiste una parola w ∈ L di lunghezza almeno p , allora L è infinito.$L$$p$$w\in L$$p$$L$

Il lemma di pompaggio viene solitamente utilizzato su infiniti linguaggi, ovvero linguaggi che contengono un numero infinito di parole. Per qualsiasi linguaggio finito , poiché può sempre essere accettato da un DFA con numero finito di stato, L deve essere regolare.$L$$L$

Secondo wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ), il lemma di pompaggio dice: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

Per qualsiasi linguaggio finito , lascia che l m a x sia la lunghezza massima delle parole in L e che p nel lemma di pompaggio sia l m a x + 1 . Il lemma del pompaggio vale poiché non ci sono parole in L la cui lunghezza ≥ l m a x + 1 .$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

Un modo per formalizzare la parte centrale del lemma di pompaggio è questo, usando :$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

Se è regolare, esiste p ∈ N in modo che$L$$p \in \mathbb{N}$

(*).$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

Per tutte le finite e p > max { | w | ∣ w ∈ L } , ovviamente abbiamo L ≥ p = ∅ . Pertanto (*) è (vacuamente) vero per tale p .$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$