Suddividere una lingua regolare infinita in 2 lingue regolari infinite disgiunte

Dato qualsiasi linguaggio regolare infinito , come posso dimostrare che può essere partizionato in 2 linguaggi regolari infiniti disgiunti ? Cioè: , e e sono entrambi infiniti e regolari.$L$$L$$L_1, L_2$$L_1 \cup L_2 = L$$L_1 \cap L_2 = \varnothing$$L_1$$L_2$

Finora ho pensato a:

1. usando il lemma del pompaggio in modo tale che ma non è riuscito a dimostrare che sono digiunti o che coprono completamente

   $$\begin{gather} L_1 &= \{ xy^nz \mid \text{\(n\) is even} \} \\ L_2 &= \{ xy^mz \mid \text{\(m\) is odd} \} \\ \end{gather}$$ $L$

2. Usando le normali partizioni linguistiche in classi di equivalenza dijoint, ma non ho capito come determinare se una classe di equivalenza è regolare o infinita.$\Sigma^*$

Sia . Il teorema di Parikh mostra che è un insieme eventualmente periodico. Lascia che l'eventuale periodo sia . Poiché è infinito, c'è un offset tale che per tutto . Pertanto la lingua è infinito (contiene tutte le parole di lunghezza per alcuni ), e anche la lingua è infinita (contiene tutto parole di lunghezza per alcuni$S = \{ |w| : w \in L \}$$S$$\ell$$L$$a$$a + k\ell \in S$$k \geq 0$$L_1 = \{ w \in L : |w| \equiv a \pmod{2\ell} \}$$a + 2k\ell$$k \geq 0$$L_2 = L \setminus L_1$$a + (2k+1)\ell$$k \geq 0$, nonché eventualmente altre parole). Ti faccio mostrare che sono entrambi regolari.$L_1,L_2$

Ogni lingua normale è accettata da un DFA minimo. Per un linguaggio regolare infinito , chiamiamo tale DFA . Considerare qualsiasi stato che può essere visitato più di una volta durante l'elaborazione di una stringa in . Se può essere visitato più di una volta, ne consegue che può essere visitato un numero qualsiasi di volte. Definisci e Questo è un DFA, quindi c'è solo un percorso. Qualsiasi stringa in$L$$M_L$$q$$L$$q$

$$L_1 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an odd number of times}\}$$ $$L_0 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an even number of times}\}$$ $L$è accettato dal DFA e deve visitare lo stato un numero di volte (forse zero). Lo stato può essere visitato un numero illimitato di volte; pertanto, sappiamo che ci sono infinite stringhe in (poiché ci sono parole che causano la visita dello stato 1 volta, 3 volte, ecc.) e che ci sono infinitamente stringhe in (poiché ci sono parole che causano il stato da visitare 0 volte, 2 volte, ecc.). Ogni stringa specificata è in o e non può trovarsi in entrambe, quindi . Tuttavia, qualsiasi parola è garantito per essere in uno di questi due insiemi, così .$L_1$$L_0$$L_1$$L_0$$L_0 \cap L_1 = \emptyset$$L$$L_0 \cup L_1 = L$