Equivalenza di set indipendente e set di imballaggio

Secondo Wikipedia, il problema del set indipendente è un caso speciale del problema del set packing . Ma mi sembra che questi problemi siano equivalenti.

Il problema di ricerca del set indipendente è: dato un grafico e un numero intero , trova vertici di cui due adiacenti.$G(V,E)$$n$$n$

Il problema di ricerca di Set Packing è: data una raccolta finita di insiemi finiti e un numero intero , trova insiemi che sono disgiunti a coppie.$C$$n$$n$

Penso che siano equivalenti in base alla seguente riduzione bidirezionale:

→: dato un problema di set indipendente su un grafico , crea una raccolta di di set, dove per ogni vertice c'è un set contenente tutti i bordi adiacenti a . Ora, ogni set di imballaggio in corrisponde a un set di vertici di cui due non hanno un bordo in comune, vale a dire, questo è un set indipendente in della stessa dimensione.$G(V,E)$$C$$v \in V$$S_v \in C$$v$$C$$G$

←: Dato un problema di impaccamento impostato su una raccolta , crea un grafico dove per ogni set c'è un vertice e c'è un bordo tra e iff gli insiemi e intersecano. Ora, ogni insieme di vertici indipendenti in corrisponde a un insieme di insiemi da di cui non si intersecano due, vale a dire, si tratta di un insieme impacchettato in della stessa dimensione.$C$$G(V,E)$$S \in C$$v_S \in V$$v_{S_1}$$v_{S_2}$$S_1$$S_2$$G$$C$$C$

La mia domanda è: la mia riduzione è corretta? In tal caso, questi problemi sono equivalenti? È possibile utilizzare algoritmi di approssimazione per un problema sull'altro problema?

L'esatto significato di "equivalente" non è ovvio, ma hai mostrato qualcosa di più profondo della normale equivalenza nelle riduzioni considerate per i problemi NP-completi.

Hai dimostrato ciò che è noto come una riduzione parsimoniosa tra i due problemi. Di solito, le riduzioni tra i problemi NP-completi sono riduzioni multiple: hanno solo la proprietà che il problema A ha una soluzione se, e solo se, il problema B ha una soluzione. Ad esempio, quando riduci 3SAT a 3-colorabilità, produci un grafico  che è 3-colorabile se e solo se la formula originale  è soddisfacente. Tuttavia, se  ha  variabili, il numero di assegnazioni soddisfacenti potrebbe essere compreso tra zero e  , incluso, mentre il numero di 3 colorazioni di qualsiasi grafico è un multiplo di sei a causa delle permutazioni dell'insieme di colori.$G$$\varphi$$\varphi$$N$$2^N$

Il punto sulle riduzioni parsimoniose è che sono individuali. La tua riduzione crea una biiezione tra le soluzioni del problema di set indipendente e le soluzioni del corrispondente problema di imballaggio. Le riduzioni parsimoniose sono utili perché conservano l'ottimizzazione e il conteggio (approssimativo) delle versioni del problema. Quindi la tua riduzione mostra anche che il problema di trovare il set indipendente più grande è difficile come trovare l'imballaggio del set usando il maggior numero di set e che il problema di contare tutti i set indipendenti è difficile come contare tutti gli imballaggi del set.

Esiste una classe più ampia di riduzioni che preservano anche il conteggio e il conteggio approssimativo. Queste sono le riduzioni che preservano l' approssimazione di Dyer et al.  [1]. Queste sono riduzioni oracolari e allentano il requisito uno-a-uno di riduzioni parsimoniose a ciò che è, essenzialmente, "Se conosci (una approssimazione di) uno, puoi facilmente calcolare (un'approssimazione di) l'altro". In particolare, le riduzioni di AP possono facilmente gestire il fattore questo è inerente a qualsiasi riduzione del problema di colore . Come suggerisce il nome, le riduzioni AP mantengono l'approssimabilità, nel senso che, se c'è una riduzione AP da A a B e c'è una FPRAS per B, allora c'è anche una FPRAS per A.$q!$$q$

[1] Dyer, Goldberg, Greenhill, Jerrum. La complessità relativa dei problemi di conteggio approssimativi. Algorithmica 38 (3): 471–500, 2003. DOI ; PDF gratuito

Entrambi i problemi sono NP-completi, quindi anche senza controllare le riduzioni, sono equivalenti in questo senso.

Tuttavia, la tua riduzione sembra a posto. Tecnicamente per i risultati di approssimazione si desidera verificare alcune proprietà aggiuntive della riduzione (non necessariamente difficili da fare, ad esempio in questo caso le riduzioni del PTAS sono interessanti). Devi anche parlare delle versioni di ottimizzazione dei problemi, piuttosto che delle versioni delle decisioni (cioè chiedere la risposta massima / minima, piuttosto che l'esistenza di una di una certa dimensione o più / meno).

In effetti è già noto che hanno una relativa approssimabilità. Sfortunatamente, generalmente non hanno buone approssimazioni. Per entrambi i problemi (e Maximum Clique, che è anche strettamente correlato) ci sono risultati di inapproximability, il principale è inapproximability con per qualsiasi (a meno che NP = ZPP), che è circa più male che diventa.$|V|^{1-\varepsilon}$$\varepsilon > 0$

Se stai osservando classi ristrette di grafici, potresti essere in grado di trovare qualcosa di interessante. Per ulteriori approfondimenti, vi rimando al compendio inestimabilmente utile di Viggo Kann:

1. Imballaggio massimo impostato
2. Set indipendente massimo
3. Max Clique