Idea comune nella moltiplicazione di Karatsuba, Gauss e Strassen

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Le identità utilizzate negli algoritmi di moltiplicazione di

Karatsuba (numeri interi)
Gauss (numeri complessi)
Strassen (matrici)

sembra strettamente correlato. Esiste un quadro / generalizzazione astratta comune?

algorithms matrices

— sdcvvc
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3

Cerca la disuguaglianza della somma asintotica di Schönhage.

— Yuval Filmus,

Di quali identità stai parlando? Dobbiamo leggere tutti e tre gli articoli per rispondere? Aggiungi le informazioni pertinenti alla tua domanda.

— Raffaello

1

@Raphael: Le identità che sono alla base degli algoritmi, che esprimono 4 moltiplicazioni numeriche con 3 moltiplicazioni e 8 moltiplicazioni di matrice con 7.

— sdcvvc,

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Il framework classico è quello degli algoritmi bilineari e delle scomposizioni dei gradi tensoriali; fondamentalmente, costruisci il tensore a 3 vie associato alla mappa bilineare , sulla base dei coefficienti, quindi cerchi una sua scomposizione come somma dei tensori di grado 1 (es. , quelli nella forma ). Lo troverai spiegato più dettagliatamente, ad esempio, in questo articolo di Bläser o nel libro di Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Teoria della complessità algebrica . $f(A,B) = A \cdot B$ $T_{i,j,k} = u_i v_j w_k$

Per quanto ho capito, la riformulazione in termini di rappresentazioni di gruppo che Suresh menziona nella sua risposta è successiva, e la trovo meno adatta per un primo approccio all'argomento (ma, ovviamente, ciò potrebbe essere un pregiudizio da parte mia ).

— Federico Poloni
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1

Questa è la risposta corretta Un aspetto che manca è la tensorizzazione / divisione e conquista che sta dietro sia l'algoritmo di Karatsuba sia gli algoritmi di moltiplicazione a matrice rapida (quadrata).

— Yuval Filmus,

8

Una risposta parziale alla tua domanda è l'approccio teorico di gruppo sviluppato inizialmente da Cohn e Umans e ulteriormente sviluppato da Cohn, Kleinberg, Szegedy e Umans. Può "specie di" catturare Strassen e Coppersmith-Winograd per la moltiplicazione di matrici.

— Suresh
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Questo manca davvero il punto. L'approccio teorico di gruppo è in realtà solo un modo per trovare tali identità in primo luogo.

— Yuval Filmus,