È il complemento di {ww | ...} senza contesto?

Definisci la lingua $L$ come . In altre parole, contiene le parole che non possono essere espresse come una parola ripetuta due volte. è senza contesto o no?$L = \{a, b\}^* - \{ww\mid w \in \{a, b\}^*\}$$L$$L$

Ho provato a intersecare con , ma non riesco ancora a provare nulla. Ho anche osservato il teorema di Parikh, ma non aiuta.a ∗ b ∗ a ∗ b $L$$a^*b^*a^*b^*$

È privo di contesto. Ecco la grammatica:

A → a | a A a | a A b | b A b | b A a B → b | a B a | a B b | b B b | b B $S \to A | B|AB|BA$
$A \to a|aAa|aAb|bAb|bAa$
$B \to b|aBa|aBb|bBb|bBa$

genera parole di lunghezza dispari con un al centro. Lo stesso vale per B e b .$A$$a$$B$$b$

Presenterò una prova che questa grammatica è corretta. Sia (la lingua nella domanda).$L = \{a,b\}^* \setminus \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$

Teorema. . In altre parole, questa grammatica genera la lingua nella domanda.$L = L(S)$

Prova. Questo vale certamente per tutte le parole dispari di lunghezza, dal momento che questa grammatica genera tutte le dispari-lunghezze parole, come fa . Quindi concentriamoci su parole di lunghezza pari.$L$

Supponiamo che abbia una lunghezza pari. Mostrerò che x ∈ L ( G ) . In particolare, sostengo che x può essere scritto nella forma x = u v , dove sia u che v hanno una lunghezza dispari e hanno lettere centrali diverse. Quindi x può essere derivato da A B o B A (a seconda che la lettera centrale di u sia a o b ). Giustificazione rivendicazione: Lasciate che il I ° lettera $x \in L$$x \in L(G)$$x$$x=uv$$u$$v$$x$$AB$$BA$$u$$a$$b$$i$$x$essere indicato con , in modo che x = x 1 x 2 ⋯ x n . Quindi poiché x non è in { w w ∣ w ∈ { a , b } n / 2 } , deve esistere un indice i tale che x i ≠ x i + n / 2 . Di conseguenza possiamo prendere u = x 1 ⋯ x 2 i $x_i$$x = x_1 x_2 \cdots x_n$$x$$\{ww \mid w \in \{a,b\}^{n/2}\}$$i$$x_i \ne x_{i+n/2}$ ev= x 2 i ⋯ x n ; la lettera centrale diusarà x i , e la lettera centrale divsarà x i + n / 2 , quindi per costruzioneu,vhanno lettere centrali diverse.$u = x_1 \cdots x_{2i-1}$$v = x_{2i} \cdots x_n$$u$$x_i$$v$$x_{i+n/2}$$u,v$

Quindi supponiamo che abbia lunghezza pari. Io dimostrare che dobbiamo avere x ∈ L . Se x ha una lunghezza pari, deve essere derivabile da A B o B A ; senza perdita di generalità, supponiamo che è derivabile da A B , e x = u v dove u è derivabile da A e v è derivabile da B . Se u , v hanno le stesse lunghezze, quindi dobbiamo avere u $x \in L(G)$$x \in L$$x$$AB$$BA$$AB$$x=uv$$u$$A$$v$$B$$u,v$ (poiché hanno lettere centrali diverse), quindi x ∉ { w w ∣ w ∈ { a , b } ∗ } . Quindi supponiamo che u , v abbiano lunghezze diverse, diciamo rispettivamente lunghezza ℓ e n - ℓ . Quindi le loro lettere centrali sono u ( ℓ + 1 ) / 2 e v ( n - ℓ + 1 ) / 2 . Il fatto che$u\ne v$$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$u,v$$\ell$$n-\ell$$u_{(\ell+1)/2}$$v_{(n-\ell+1)/2}$$u,v$ hanno lettere centrali diverse significa che . Poiché x = u v , significa che x ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ x ( n + ℓ + 1 ) / 2 . Se proviamo a scomporre x come x = w $u_{(\ell+1)/2} \ne v_{(n-\ell+1)/2}$$x=uv$$x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2}$$x$ Dove w , w ′ ha la stessa lunghezza, quindi scopriremo che w ( ℓ + 1 ) / 2 = x ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ x ( n + ℓ + 1 ) / 2 = w ′ ( ℓ + 1 ) / 2 , ovvero w ≠ w ′ , quindi x ∉ { w $x=ww'$$w,w'$$w_{(\ell+1)/2} = x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2} = w'_{(\ell+1)/2}$$w\ne w'$$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$. In particular, it follows that $x \in L$.

Questo linguaggio è privo di contesto è stato dimostrato nel seguente documento:

Tomaszewski, Zach. "Una grammatica senza contesto per una stringa ripetuta." Journal of Information and Computer Science , 2012 ( PDF ).