Esempi di linguaggi senza contesto con complementi senza contesto

Le lingue senza contesto non sono chiuse sotto integrazione. Nelle lezioni ci è stato dato lo stesso argomento di qui su Wikipedia : Per sia che sono senza contesto, ma la loro intersezione non lo è. Dal momento che le lingue senza contesto sono chiuse sotto i sindacati, non possono essere chiuse anche sotto integrazione.

A = {a^{n} b^{n} c^{m}; m, n \in ℕ_{0}} and B = {a^{m} b^{n} c^{n}; m, n \in ℕ_{0}},

$A = \{\mathtt a^n \mathtt b^n \mathtt c^m;~m, n ∈ ℕ_0\}\quad\text{and}\quad B = \{\mathtt a^m \mathtt b^n \mathtt c^n;~m, n ∈ ℕ_0\},$

A

$A$

B

$B$

A \cap B

$A ∩ B$

Tuttavia, questo dimostra solo che una delle tre lingue $A$ , $B$ e $\overline A \cup \overline B$ è un linguaggio senza contesto con un complemento senza contesto, ma non per quale di questi è vero. Quindi, cos'è?

Inoltre, esiste un esempio minimale ed elegante di un linguaggio senza contesto con un complemento senza contesto, forse su un alfabeto binario?

formal-languages context-free

— k.stm
fonte

Risposte:

La lingua non è senza contesto (come può essere mostrato usando il lemma di pompaggio; vedi qui ). Il suo complemento è privo di contesto (come mostrato qui ). Questo fornisce un esempio semplice ed elegante di un linguaggio senza contesto (su un alfabeto binario) il cui complemento non è privo di contesto, come richiesto. $L_1= \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$ $L_2 = \{a,b\}^* \setminus L_1$

— DW
fonte

L'esempio che vedi su Wikipedia: inserisci , . È facile vedere e contesto definendo un PDA; puoi notare che sono linguaggi deterministici senza contesto, che è una classe chiusa sotto complemento. Pertanto è un linguaggio senza contesto con un complemento privo di contesto . $A=\{a^n b^n c^m\}$ $B=\{a^m b^n c^n\}$ $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{A} \cup \overline{B}$ $A \cap B=\{a^n b^n c^n\}$

Allo stesso modo, il linguaggio non è privo di contesto ma lo è il suo complemento. $\{a^n b^m c^n d^m\}$

— sdcvvc
fonte

La domanda richiede "minimal ed elegante" e questi esempi sono molto più complessi del semplice esempio dato da @DW nella sua risposta.

— David Richerby,

@David Richerby: IMO l'esempio potrebbe essere più elegante di o , ma è più complesso da dimostrare, mentre gli altri due sono meccanici.

\bar{{w w}}

$\overline{\{ww\}}$

\bar{{a^{n} b^{n} c^{n}}}

$\overline{\{a^n b^n c^n\}}$

\bar{{a^{n} b^{n} c^{m} d^{m}}}

$\overline{\{a^n b^n c^m d^m\}}$

— sdcvvc,

Devi aver significato nel tuo secondo esempio.

{a^{n} b^{m} c^{n} d^{m}}

$\{a^nb^mc^nd^m\}$

— Yuval Filmus,

Sì, grazie per la correzione (vedo che ho fatto lo stesso errore nel commento, troppo tardi per modificarlo ora).

— sdcvvc,