C'è una lingua in grado di esprimere il proprio compilatore Turing-complete?

Un commento su tex.SE mi ha fatto meravigliare. La dichiarazione è essenzialmente:

Se riesco a scrivere un compilatore per la lingua X nella lingua X, allora X è Turing completo.

In termini di calcolabilità e linguaggi formali, questo è:

Se decide e , allora . $M$ $L \subseteq L_{\mathrm{TM}}$ $\langle M \rangle \in L$ $F_L = \mathrm{RE}$

Qui indica la lingua di tutte le codifiche macchina Turing e denota l'insieme di funzioni calcolate dalle macchine a . $L_{\mathrm{TM}}$ $F_L$ $L$

È vero?

computability turing-completeness

— Raffaello
fonte

chiudi, pensa / accetta che ci deve essere qualcosa di simile a questo tipo, qualsiasi linguaggio "non banale" o "sufficientemente complesso" che può esprimere il proprio simulatore è TM completo. un compilatore è generalmente parte di un simulatore. è in effetti un "modello di progettazione" trovato in molte prove di completezza della MT ma forse non è stato generalizzato / formalizzato. forse un argomento per ulteriori analisi / discussioni in Computer Science Chat . sospetto / congettura ce n'è qualche altra interessante in qualche modo simile a "ogni linguaggio non banale / sufficientemente complesso ricorsivo e ricorsivamente enumerabile può essere mappato / ridotto a ogni altro".

— vzn,

Ho creato un linguaggio esoterico chiamato InterpretMe, che non può fare altro che esprimere il proprio interprete, quindi certamente non è Turing completo.

— Ortografia non contestuale

Puoi spiegare la seconda affermazione? Che cos'è ? In che modo questa affermazione è correlata alla prima?

⟨ M ⟩

$\langle M \rangle$

— reinierpost,

@reinierpost indica in genere il numero di , data la codifica (ammissibile). Quindi, . Con l'insieme di funzioni calcolate dalla lingua delle macchine di Turing.

⟨ M ⟩

$\langle M \rangle$

M

$M$

L_{T M} = {⟨ M ⟩ ∣ M is a Turing machine}

$L_{\mathrm{TM}} = \{ \langle M \rangle \mid M \text{ is a Turing machine}\}$

F_{L}

$F_L$

L

$L$

— Raffaello

Un modo migliore per affermare l'affermazione sarebbe: "Se c'è una TM con e , allora .

M

$M$

⟨ M ⟩ \in L

$\langle M \rangle \in L$

L_{M} = L

$L_M = L$

F_{L} = R E

$F_L = \mathrm{RE}$

— Raffaello

L'affermazione informale non è vera, come mostrato dal seguente linguaggio di programmazione. Qualsiasi stringa di, diciamo, caratteri ASCII è un programma valido e il significato di ogni programma è "Emetti un programma che produce solo una copia del suo input". Pertanto, ogni programma in questa lingua è un compilatore per la lingua ma la lingua non è completa di Turing.

Non sono sicuro che la tua "versione della teoria della computabilità" sia equivalente ma non è nemmeno vera. Secondo il secondo teorema di ricorsione di Kleene , per qualsiasi codifica delle macchine di Turing, esiste una TM che accetta la propria codifica e rifiuta tutti gli altri. ¹ Questa macchina è un controesempio alla proposta. Più concretamente, possiamo ottenere il risultato scegliendo una codifica. Ad esempio, lascia che ogni numero dispari codifichi la macchina definita da "Se il mio input è dispari, accettalo; altrimenti, rifiuta" e lascia che il numero codifichi la macchina codificata da nel tuo schema di codifica preferito per le macchine Turing. è nella lingua accettata da ma $M$ $2x$ $x$ $\langle M\rangle$ $L$ $M$ $F_L$ non è Turing completo.

¹ Il secondo teorema di ricorsione di Kleene afferma che, per ogni enumerazione delle funzioni ricorsive parziali (cioè, per qualsiasi codifica di programmi come numeri interi) e qualsiasi funzione ricorsiva parziale , esiste un numero intero tale che è la funzione che mappa su . Quindi, in particolare, lascia che sia la funzione che accetta se e rifiuta diversamente. Secondo il teorema, esiste un numero intero che codifica il programma . Cioè, accetta la propria codifica $(\phi_i)_{i\geq 0}$ $Q(x,y)$ $p$ $\phi_p$ $y$ $Q(p,y)$ $Q$ $x=y$ $p$ $\phi_p(y) = Q(p,y)$ $\phi_p$ $p$ e rifiuta tutti gli altri input.

— David Richerby
fonte

In che senso ogni programma in quella lingua è un compilatore per quella lingua? Ogni programma è un programma che inserisce un programma in quella lingua e produce un programma diverso in quella lingua, sì, ma i quines generalmente non sono considerati compilatori.

— user253751,

Penso @immibis ha un punto: il compilatore è , mentre tutti i programmi in lingua sono , quindi non è chiaramente nella lingua. Mi sto perdendo qualcosa?

c

$c$

c (P) = {x \Rightarrow r e t u r n P}

$c(P) = \{ x \Rightarrow \mathtt{return}\ P \}$

P (x) = P

$P(x) = P$

c

$c$

— Raffaello

@immibis (tardivamente) penso che tu abbia ragione. Sembra che ciò che intendevo scrivere fosse che la semantica di ogni programma è semplicemente "emettere il tuo input". Sembra abbastanza vicino a quello che ho scritto che probabilmente era quello che intendevo dire in primo luogo. O forse sono stato molto fortunato che la distanza di modifica dalla mia risposta sbagliata alla risposta corretta fosse così piccola. :-)

— David Richerby

La risposta ora dice "ignora il suo input e genera una copia del suo input" - non puoi fare entrambe le cose.

— user253751

@immibis Verrò di nuovo .

— David Richerby,