L'operazione "differenza" aggiunge espressività a un linguaggio di query che include già "join"?

L'operatore differenza set (ad esempio, EXCEPTin alcune varianti SQL) è uno dei tanti operatori fondamentali dell'algebra relazionale. Tuttavia, ci sono alcuni database che non supportano direttamente l'operatore di differenza impostata, ma che supportano LEFT JOIN(una sorta di join esterno), e in pratica questo può essere usato al posto di un'operazione di differenza impostata per ottenere lo stesso effetto.

Ciò significa che la potenza espressiva di un linguaggio di query è la stessa anche senza l'operatore di differenza impostata, purché l' LEFT JOINoperatore sia mantenuto? Come si dimostrerebbe questo fatto?

Nell'algebra relazionale, forniremo innanzitutto una definizione informale di join (esterno) sinistro e procederemo a dimostrare che, rinominazione, selezione, unione e proiezione possono costruire la differenza, così come la differenza, la selezione e l'unione possono essere utilizzate per costruire join sinistro (esterno). In realtà, finiremo per farlo nell'ordine inverso: mostreremo come costruire join a sinistra usando le differenze, e poi mostreremo come costruire differenze usando i join a sinistra.

Sia che S abbiano schemi ( R ′ , T ) e ( T , S ′ ) , rispettivamente, dove R ′ e S ′ sono gli insiemi di attributi in uno schema ma non l'altro, e T è l'insieme di attributi comuni.$R$$S$$(R', T)$$(T, S')$$R'$$S'$$T$

Lasciate sia la tupla nulla per lo schema S ' . Cioè, è la tupla composta da tutti i valori null per ogni attributo di S ′ . Quindi, definiamo il join esterno sinistro come segue: è l'insieme di tutte le tuple ( r , t , s ) appartenenti allo schema ( R ′ , T , S ′ ) dove ...$w = (\epsilon, \epsilon, ..., \epsilon)$$S'$$S'$R LEFT JOIN S$(r, t, s)$$(R', T, S')$

1. è una tupla in R ;$(r, t)$$R$
2. (a) è una tupla di S o (b) s = w ;$(t, s)$$S$$s = w$
3. Se è nell'insieme per s ≠ w , allora ( r , t , w ) non è nell'insieme.$(r, t, s)$$s \neq w$$(r, t, w)$

Esempio: lo schema di è ( $R$, loschema diSè( A 2 , A 3 , A 4 )e abbiamo cheR={(1,2,3),(4,5,6)}eS={(2,3,4$(A_{1}, A_{2}, A_{3})$$S$$(A_{2}, A_{3}, A_{4})$$R = \{(1, 2, 3), (4, 5, 6)\}$ . Con (1) e (2) otteniamo il risultato intermedio { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 1 , 2 , 3 , ϵ ) , ( 4 , 5 , 6 , ϵ ) } . Di (3) dobbiamo rimuovere ( 1 , $S = \{(2, 3, 4), (2, 3, 6)\}$$\{(1, 2, 3, 4),(1, 2, 3, 6), (1, 2, 3, \epsilon),(4, 5, 6, \epsilon)\}$ , poiché abbiamo (per esempio) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) e s = 4 ≠ ϵ = w . Ci rimane quindi { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 4 , 5 , 6 , ϵ ) $(1, 2, 3, \epsilon)$$(1, 2, 3, 4)$$s = 4 \neq \epsilon = w$$\{(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 6), (4, 5, 6, \epsilon)\}$, il risultato previsto per un join sinistro.

Teorema: R LEFT JOIN Sè equivalente a (R EQUIJOIN S) UNION ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w).

Prova: (R EQUIJOIN S)ci dà tutto il necessario per (1) e (2a). Sosteniamo che ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)ci fornisce tutto il modulo (r, t, w)richiesto da (2b) e (3).

Per vedere questo, primo avviso che (((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R)è l'insieme di tutte le tuple in per i quali non corrisponde alcun tupla in S . Per vederlo, è sufficiente notare che proiettando gli attributi comuni su R e S (l'attributo set T ) e prendendo la differenza, si rimane con tutte e solo quelle tuple (con schema T ) che sono rappresentate in R ma non S . Dalla con R , si recupera tutte e sole le tuple in R che hanno valori per gli attributi a T che sono presenti in R ma non in $R$$S$$R$$S$$T$$T$$R$$S$EQUIJOIN$R$$R$$T$$R$$S$; vale a dire, precisamente l'insieme di tuple che abbiamo rivendicato finora.

Successivamente, si noti che lo schema di (((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S))è uguale a quello di (ovvero, ( R ′ , T ) ), mentre lo schema di w è S ′ . L' operazione è quindi un prodotto cartesiano, che si ottengono tutti tuple nella forma ( r , t , w ) dove non c'è ( t , s ) in S corrispondente ad ( r , t ) in R .$R$$(R', T)$$w$$S'$JOIN$(r, t, w)$$(t, s)$$S$$(r, t)$$R$

Per vedere che questo è precisamente l'insieme di tuple che dovevamo aggiungere per R EQUIJOIN Scostruire R LEFT JOIN S, considera quanto segue: per costruzione, (3) è soddisfatto, poiché R EQUIJOIN Snon può contenere se contiene ( r , t , w ) (se così fosse, allora la seconda parte contenente ( r , t , w ) sarebbe una contraddizione); se dovessimo aggiungere un altro ( r , t , w ) non in , allora ci sarebbe un $(r, t, s)$((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)$(r, t, w)$$(r, t, w)$$(r, t, w)$((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w) in S corrispondente a ( r , t ) in R , e dalla definizione di, ( r , t , s ) sarebbe ancheuna contraddizione di (3). Questo completa la prova.$(t, s)$$S$$(r, t)$$R$EQUIJOIN$(r, t, s)$R LEFT JOIN S

Ora mostriamo che il join sinistro può essere usato per costruire la differenza:

Teorema: R DIFFERENCE Sè equivalente aPROJECT_T(SELECT_{t'=w}(R LEFT JOIN (SELECT_{s=s'}(((S JOIN RENAME_{T->T'}(S)))))))

Prova: si noti che qui, e S ' sono vuote, in quanto tutti gli attributi sono condivise perdare un senso. Innanzitutto, creiamo una nuova relazione da S duplicando l'attributo set in S (gestito dae) in modo che sia composto da tuple ( t , t ′ ) sul set di attributi ( T , T ′ ) dove t = t ′ (gestito da il). L'unione sinistra ci lascia con le tuple della forma ( t , t ′$R'$$S'$DIFFERENCE$S$$S$RENAMEJOIN$(t, t')$$(T, T')$$t = t'$SELECT$(t, t')$dove o t ′ = w . Ora, per sbarazzarci delle voci che compaiono anche in S , dobbiamo mantenere solo le tuple del modulo ( t , w ) , che è gestito dal più esterno . L'ultimo elimina l'attributo temporaneo impostato T ′ e ci lascia con la differenza in termini di schema originale.$t=t'$$t'=w$$S$$(t, w)$SELECTPROJECT$T'$

Esempio: Let e S = { ( 3 , 4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) } . Prima otteniamo S con l'attributo d impostato T ′ : { ( 3 , 4 ), ( 5 R dà { ( 1 , 2 , ϵ , ϵ ) , ( 3 $R = \{(1, 2), (3, 4), (5, 6)\}$$S = \{(3, 4), (5, 6), (7, 8)\}$$S$RENAME$T'$ . L'operazione ci dà il prodotto cartesiano con tutti e nove i possibili abbinamenti; questo set non è scritto qui per motivi di formattazione. L'analisi quindi si riduce a { ( 3 , 4 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 5 , 6 ) , ( 7 , 8 , 7 , 8 ) } . Ilcon$\{(3, 4), (5, 6), (7, 8)\}$JOINSELECT$\{(3, 4, 3, 4), (5, 6, 5, 6), (7, 8, 7, 8)\}$LEFT JOIN$R$ . Ildà { ( 1 , 2 , ε , ε ) } . Ildà { ( 1 , 2 ) } , la risposta desiderata.$\{(1, 2, \epsilon, \epsilon), (3, 4, 3, 4), (5, 6, 5, 6)\}$SELECT$\{(1, 2, \epsilon, \epsilon)\}$PROJECT$\{(1, 2)\}$

LEFT JOIN come implementato da SQL, non produce relazioni come risultato (perché alcuni attributi del risultato non avranno un valore).

Ergo, LEFT JOIN implementato da SQL, non è una controparte diretta di nessun operatore di algebra relazionale.

Ergo, l' operatore di differenza relazionale non può essere espresso in termini di LEFT JOIN (perché LEFT JOIN non può far parte dell'algebra relazionale, poiché LEFT JOIN produce qualcosa che non è una relazione, violando così la chiusura dell'algebra).

Qualsiasi insieme di operatori primitivi di un'algebra relazionale che soddisfa la chiusura di cui io sia a conoscenza, include sempre la differenza relazionale o la semidifferenza relazionale.