Un quine in puro calcolo lambda

Vorrei un esempio di quine in puro calcolo lambda . Sono stato piuttosto sorpreso di non poterne trovare uno cercando su Google. La pagina Quine elenca le quines per molte lingue "reali", ma non per il calcolo lambda.

Naturalmente, questo significa definire cosa intendo per un quine nel calcolo lambda, che faccio di seguito. (Sto chiedendo qualcosa di abbastanza specifico.)

In alcuni punti, ad esempio Larkin and Stocks (2004), vedo quanto segue citato come espressione "autoreplicante": . Questo si riduce a se stesso dopo un singolo passaggio di riduzione beta, dandogli una sensazione in qualche modo simile a quella di un chinino. Tuttavia, è un po 'come se non terminasse: ulteriori riduzioni beta continueranno a produrre la stessa espressione, quindi non si ridurranno mai alla forma normale. Per me un quine è un programma che termina e genera se stesso, e quindi vorrei un'espressione lambda con quella proprietà.$(\lambda x.x \; x)\;(\lambda x.x \; x)$

Naturalmente, qualsiasi espressione che non contiene redexes è già in forma normale e pertanto terminerà e produrrà se stessa. Ma è troppo banale. Quindi propongo la seguente definizione nella speranza che ammetta una soluzione non banale:

definizione (provvisoria): una quina nel calcolo lambda è un'espressione della forma (dove rappresenta un'espressione specifica del calcolo lambda) tale che diventa (\ lambda x. A) , o qualcosa di equivalente ad esso in caso di modifiche ai nomi delle variabili, quando ridotto alla forma normale, per qualsiasi input y .

Dato che il calcolo lambda è equivalente di Turing come qualsiasi altra lingua, sembra che ciò dovrebbe essere possibile, ma il mio calcolo lambda è arrugginito, quindi non riesco a pensare a un esempio.

Riferimento

James Larkin e Phil Stocks. (2004) "Espressioni autoreplicanti nel calcolo di Lambda" Conferenze in ricerca e pratica in informatica, 26 (1), 167-173. http://epublications.bond.edu.au/infotech_pubs/158

Vuoi un termine tale che ∀ M ∈ Λ :$Q$$\forall M \in \Lambda$

Non specificherò ulteriori restrizioni su (ad esempio per quanto riguarda la sua forma e se si sta normalizzando) e ti mostrerò che sicuramente deve essere non normalizzante.$Q$

1. Supponiamo che sia in forma normale. Scegli M ≡ x (possiamo farlo perché il teorema deve valere per tutte le M ). Quindi ci sono tre casi.$Q$$M \equiv x$$M$

   • è un atomo a . Quindi Q M ≡ a x . Questo non è riducibile a una .$Q$$a$$QM \equiv ax$$a$
   • è qualche applicazione ( R S ) . Quindi Q M ≡ ( R S ) x . ( R S ) è una forma normale per ipotesi, quindi ( R S ) x è anche in forma normale e non riducibile a ( R S ) .$Q$$(RS)$$QM \equiv (RS)x$$(RS)$$(RS)x$$(RS)$
   • è un po 'di astrazione ( λ x . A ) (sesi suppone che x sia libero in A , quindi per semplicità possiamo semplicemente scegliere M equivalente a qualunque variabile λ si astragga sopra). Poi Q M ≡ ( λ x . A ) x ⊳ ß A [ x / x ] ≡ A . Poiché ( λ x . A ) è in forma normale, lo è anche$Q$$(\lambda x.A)$$x$$A$$M$$\lambda$$QM \equiv (\lambda x.A)x \rhd_\beta A[x/x] \equiv A$$(\lambda x.A)$$A$. Di conseguenza non possiamo ridurre da a ( λ x . A ) .$A$$(\lambda x.A)$

   Quindi, se esiste una tale , non può essere in forma normale.$Q$

2. Per completezza, supponiamo che abbia una forma normale, ma non sia in forma normale (forse è debolmente normalizzante), cioè ∃ N ∈ β -nf con N ≢ Q tale che ∀ M ∈ Λ : Q M ⊳ β Q ⊳ β$Q$ $\exists N \in \beta\text{-nf}$$N \not\equiv Q$$\forall M \in \Lambda$

   $$QM \rhd_\beta Q \rhd_\beta N$$

   Quindi con deve esistere anche una sequenza di riduzione Q x ⊳ β N x ⊳ β N , perché:$M \equiv x$$Qx \rhd_\beta Nx \rhd_\beta N$

   • è possibile dal fatto che Q ⊳ ß N .$Qx \rhd_\beta Nx$$Q \rhd_\beta N$
   • deve normalizzarsi poiché N è un β -nf e x è solo un atomo.$Nx$$N$$\beta$$x$
   • Se dovesse normalizzarsi con qualcosa di diverso da N , allora Q x ha due β- nfs, che non è possibile da un corollario al teorema di Church-Rosser. (Il teorema di Church-Rosser afferma essenzialmente che le riduzioni sono confluenti, come probabilmente già sapete.)$Nx$$N$$Qx$$\beta$

   Ma nota che non è possibile con l'argomento (1) sopra, quindi la nostra ipotesi che Q abbia una forma normale non è sostenibile.$Nx \rhd_\beta N$$Q$

3. Se permettiamo tale , allora, siamo certi che deve essere non normalizzante. In tal caso possiamo semplicemente usare un combinatore che elimina qualsiasi argomento che riceve. Il suggerimento di Denis funziona bene: Q ≡ ( λ z . ( Λ x . Λ z . ( X x ) ) ( λ x . Λ z . ( X x ) ) ) Quindi in solo due riduzioni β : Q $Q$

   $$Q \equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)))$$ $\beta$ $$\begin{align} QM &\equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x))) M \\ & \rhd_{1\beta} (λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)) \\ & \rhd_{1\beta} (λz.((λx.λz.(x x))(λx.λz.(x x))) \\ & \equiv Q \end{align}$$

Questo risultato non è molto sorprendente, dal momento che stai essenzialmente chiedendo un termine che elimini qualsiasi argomento che riceve, e questo è qualcosa che vedo spesso menzionato come un'applicazione diretta del teorema del punto fisso.

Da un lato ciò è impossibile, perché si suppone che un quine produca il proprio codice e il calcolo lambda puro non ha mezzi per eseguire l'output.

D'altra parte, se si assume che il termine risultante sia l'output, allora ogni forma normale è un quine.

Ad esempio, il termine lambda è già una forma normale, quindi supponendo che il suo output sia la forma normale risultante, l'output è ( λ x . X ) . Pertanto ( λ x . X ) è un quine.$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$

Ecco una proposta:

Scegliamo come punto fisso della funzione f = λ t . ( λ z . t ) .$A$$f=\lambda t. (\lambda z.t)$

$Y=\lambda g.((\lambda x.g\ (x\ x))\ (\lambda x.g\ (x\ x)))$$A=Y f=(\lambda x.\lambda z.(x\ x))\ (\lambda x.\lambda z.(x\ x))$

$A$$A$$\lambda z.A$$y$$(\lambda z.A)y \to_\beta A \to_\beta (\lambda z.A)$