Perché Miller – Rabin invece del test di primalità di Fermat?

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Dalla prova di Miller-Rabin , se un numero supera il test di primalità di Fermat , deve anche superare il test di Miller-Rabin con la stessa base (una variabile nella dimostrazione). E la complessità di calcolo è la stessa. $a$

Quanto segue proviene dal test di primalità di Fermat :

Mentre i numeri di Carmichael sono sostanzialmente più rari dei numeri primi, 1 ce ne sono abbastanza che il test di primalità di Fermat spesso non viene utilizzato nella forma sopra. Invece, altre estensioni più potenti del test Fermat, come Baillie-PSW, Miller-Rabin e Solovay-Strassen sono più comunemente utilizzate.

Qual è il vantaggio di Miller-Rabin e perché si dice che sia più potente del test di primalità di Fermat?

algorithms primes

— ZijingWu
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L'algoritmo Rabin-Miller verifica anche, dato un numero , se ha una radice non banale di Unity. $n$ $Z_n$

$a$ $n$ $a$ $a$ $a,2a,...,2^ra$

Pertanto, abbiamo quanto segue:

$n$ $1/2$

$1/2$

— Shaull
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Vuoi dire che Carmichael numero n può avere successo nel test di Fermat ma fallito su Rabin-Miller usando la stessa base a?

— ZijingWu,

a

$a$

a

$a$

a

$a$

a

$a$

a

$a$

a

$a$

1

Il punto dei test "più complessi" è che la frazione di basi che giacciono (diciamo che il numero è forse primo, quando non lo è) ha un limite garantito inferiore a 1. Cioè, a Miller-Rabin si può dimostrare che al massimo 1/4 di bugia (IIRC, e il limite è abbastanza pessimistico).

— vonbrand,

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Credo che la tua affermazione sia l'opposto di ciò che accade. Passare il test di Miller-Rabin per una data base significa che supererà il test di Fermat per la stessa base. Al contrario, ci sono molti composti che supereranno il test Fermat per una data base ma falliranno il test Miller-Rabin per la stessa base.

Vedi, ad esempio, l'articolo di Pomerance / Selfridge / Wagstaff nella pagina Wikipedia di Miller-Rabin:

https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf

dove vediamo un diagramma a pagina 2 che mostra che gli pseudoprimi di Eulero sono un sottoinsieme degli pseudoprimi di Fermat e che i pseudoprimi forti sono un sottoinsieme di quelli. Il test Solovay-Strassen è quindi più esigente del test Fermat, e il test Miller-Rabin più di entrambi. Entrambi evitano il problema critico dei numeri di Carmichael. Hanno essenzialmente le stesse prestazioni, quindi preferiamo usare il test Miller-Rabin.

— Danaj
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Dovrebbe essere ovvio che Miller-Rabin è meglio di Fermat.

$a^{p-1}$

$a^{p-1}$ $p-1 = s·2^k$ $a^s$ $a^{p-1}$

Ancora una volta, se il risultato non è 1 (modulo p), allora p è composito. Ma se il risultato è 1 modulo p, allora controlliamo se abbiamo ottenuto quel 1 quadrando un risultato intermedio che non era +1 o -1, e in quel caso x è anche dimostrato composito.

Quindi facciamo esattamente la stessa quantità di lavoro, ma ci sono altri modi per dimostrare che x è composito.

— gnasher729
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