La stella kleene di un linguaggio unario infinito produce sempre un linguaggio regolare

Sia , dove e per tutto .$L = \{a^n \mid n \ge 0\}$$a^0 = \epsilon$$a^n = a^{n-1}a$$n \ge 1$

Pertanto costituito da sequenze di di tutte le lunghezze, inclusa una sequenza di lunghezza . Lasciate essere qualsiasi sottoinsieme infinito di . Devo dimostrare che esiste sempre un DFA per riconoscere .$L$$a$$0$$L_2$$L$$L_2^*$

Se è un sottoinsieme finito è molto ovvio dato che sarebbe un DFA e quindi dalla chiusura di Kleene sarebbe riconosciuto da un DFA. Ma non riesco a ottenerlo per un sottoinsieme infinito poiché potrebbe non essere espresso come DFA quando, ad esempio, le lunghezze delle stringhe sono prime.$L_2$$L_2$$L_2^*$$L_2$

Supponiamo che ci siano due parole nella lingua le cui lunghezze sono relativamente prime. Lascia che siano queste lunghezze$x$ e $y$. Sappiamo (vedi questo ) che aggiungendo ripetutamente questi numeri, possiamo ottenere qualsiasi numero maggiore di$(x - 1)(y - 1) - 1$. Quindi se$x$ e $y$ siamo $13$ e $7$, possiamo scrivere qualsiasi numero maggiore di $72$ come una combinazione lineare di $7$ e $13$. Cosa significa questo per noi:$L_2^*$ consiste in una lingua finita arbitraria (regolare, come tutte le lingue finite), in unione con la lingua $\{w \in a^* \mid |a| > (x-1)(y-1)-1\}$. Questa lingua è regolare poiché è la lingua di tutte le parole con una serie finita di parole rimosse. Da$L_2^*$ è un'unione di lingue regolari, deve anche essere regolare.

Se tutte le parole in $L_2^*$ hanno lunghezze che condividono un fattore comune massimo (chiama questo fattore comune $m$), quindi ripeti l'argomento sopra, ma invece di utilizzare le lunghezze delle stringhe, usa le lunghezze delle stringhe divise per $m$. In questo caso,$L_2^*$ sarà la concatenazione di una lingua finita arbitraria (regolare) e della lingua $\{w \in (a^m)^* \mid |w| > m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1]\}$, anche regolare (poiché $ (a ^ m) ^ * è regolare e ne stiamo rimuovendo finitamente molte parole).

Ad esempio, supponiamo che tutte le parole in $L$ avere un GCF di 2 e la lingua contiene le parole $a^4$ e $a^{10}$. abbiamo$m = 2$, $x/m = 4/2 = 2$, e $y/m = 10/2 = 5$, che sono relativamente primi. Pertanto, sappiamo che possiamo ottenere qualsiasi parola la cui lunghezza sia multipla di$m$ se la lunghezza è maggiore di $m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1] = 2^2[(2 - 1)(5 - 1) - 1] = (4)(3) = 12$ concatenando $a^4$ e $a^{10}$.