Come posso verificare se un poligono è monotono rispetto a una linea arbitraria?

Definizione : un poligono nel piano è chiamato monotono rispetto a una linea retta , se ogni linea ortogonale a interseca al massimo due volte. $P$ $L$ $L$ $P$

Dato un poligono , è possibile determinare se esiste una linea tale che il poligono sia monotono rispetto a ? Se si, come? $P$ $L$ $P$ $L$

In precedenza, ho posto una domanda correlata (in cui ho chiesto come determinare se un poligono è monotono rispetto a una determinata riga), ma ora sono interessato al caso in cui non viene fornito o specificato in anticipo. $L$

algorithms computational-geometry

— com
fonte

Perché non semplicemente ruotare / spostare il sistema di coordinate in modo che diventi l' asse e quindi esegua nuovamente il vecchio algoritmo? Il lavoro aggiuntivo dovrebbe essere gestibile in .

L

$L$

x

$x$

O (1)

$\mathcal{O}(1)$

— HdM,

@HdM: la riga L non viene fornita come parte dell'input.

— Tsuyoshi Ito,

È possibile.

Considera il tuo poligono e considera i vertici "concavi". Definiscono esattamente quali linee intersecheranno il poligono più di due volte. Nella figura seguente ho segnato gli intervalli (in rosso) degli angoli proibiti. Se li metti insieme e vedi un buco nel disco rosso, allora ci sono angoli autorizzati (in blu). Il poligono è quindi monotono rispetto a qualsiasi linea di pendenza (in verde). $δ$ $-1/\tan δ$

Asteroids

Ora l'algoritmo.

Sia il vertice del poligono. innanzitutto l'angolo assoluto del bordo e l'angolo interno del vertice . Utilizzare la funzione disponibile in tutti i buoni linguaggi di programmazione. $v_i=(x_i, y_i)$ $i$ $α_i$ $(v_iv_{i+1})$ $β_i$ $v_i$ atan2

α_{io} = atan2 (y_{io + 1} - y_{io}, X_{io + 1} - X_{io})

$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$

β_{i} = α_{i + 1} - α_{i} + {\begin{cases} 0 & if α_{i + 1} \geq α_{i} \\ 2 π & if α_{i + 1} < α_{io} \end{cases}

$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$

Invertire l'ordine dei vertici se non sono in senso antiorario, ovvero se non è negativo. ( : antiorario, : orario). $s=\sum_i β_i-nπ$ $s=-2π$ $s=2π$

Quanto segue è solo per gli angoli interni maggiori di cioè . Quelli rossi nella mia foto. L'obiettivo è trovare un angolo che non sia in modulo . Vale a dire tale che per tutti tale che : $m$ $π$ $β_j>π$ $δ$ $∪_j[α_{j+1},α_j]$ $π$ $j$ $β_j>π$

(δ < α_{j + 1} \lor α_{j} < δ) Se α_{j + 1} < α_{j}

$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$

(α_{j} < δ < α_{j + 1}) Se α_{j} < α_{j + 1}

$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$

dove è qui il valore normalizzato di in . Il secondo caso corrisponde a un intervallo che va oltre (quindi questa volta deve essere "dentro"). $α_j$ $α_j$ $[0,π)$ $π$ $δ$

C'è probabilmente un modo più veloce per farlo ma uno in è quello di ordinare i valori in e testare . $O(n^2)$ $α_j\mbox{ mod }π$ $γ_1,…γ_m$ $δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$

Se hai trovato un po allora esiste ed è di pendenza . Altrimenti non è monotono. $δ$ $L$ $-1/\tan δ$ $P$

— jmad
fonte

Quale software hai usato per realizzare quell'illustrazione?

— jojman

@jojman Non ricordo ma doveva essere GIMP, non ricordo nessun altro programma che avrei usato allora.

— jmad