Ottimo risolutore di labirinti miopi

Stavo scherzando con la demo di Google Blocky Maze e mi sono ricordato della vecchia regola che se vuoi risolvere un labirinto, tieni semplicemente la mano sinistra contro il muro. Funziona con qualsiasi labirinto collegato in modo semplice e può essere implementato da un trasduttore finito.

Lascia che il nostro robot sia rappresentato da un trasduttore con le seguenti azioni e osservabili:

• Azioni: vai avanti ( $\uparrow$ ), gira a sinistra ( $\leftarrow$ ), gira a destra ( $\rightarrow$ )
• Osservabili: muro davanti ( $\bot$ ), nessun muro davanti ( $\top$ )

Quindi possiamo costruire il risolutore del labirinto sinistro come (scusate il mio disegno pigro):

Dove vedere un osservabile ci farà seguire il limite appropriato fuori dallo stato mentre eseguiamo l'azione associata a quel limite. Questo automa risolverà tutti i labirinti semplicemente connessi, anche se potrebbe richiedere del tempo dopo vicoli ciechi. Chiamiamo un altro automa migliore di A se:$B$ $A$

1. fa rigorosamente più passi su solo un numero finito di labirinti, e$B$

2. compie rigorosamente meno passaggi (in media; per varianti probabilistiche) su un numero infinito di labirinti.$B$

Le mie due domande:

1. Esiste un automa finito migliore di quello disegnato sopra? Cosa succede se consentiamo trasduttori probabilistici?

2. Esiste un automa finito per risolvere labirinti che non sono necessariamente semplicemente collegati?

Se ho capito bene la domanda, penso che puoi applicare un trucco per accelerare per ottenere automi più veloci su un numero infinito di labirinti (a condizione che l'uscita sia posizionata su uno dei bordi): puoi semplicemente usare gli stati interni per memorizzare un numero finito di passi e riconoscere i vicoli ciechi come quello nella figura:

Quando un automa che segue a destra è in posizione e il suo stato "segnala" che ha appena seguito un quadrato chiuso ( con codifica di dimensioni fisse, non un quadrato grande arbitrario ), allora può tranquillamente girare a sinistra ed evitare di visitare il vicolo cieco zona. Come sottolineato nel mio commento qui sotto, l'automa applicherà la scorciatoia su ogni labirinto che contiene uno (o più) "sommersi" come quello nella figura, quindi funzionerà meglio su infiniti labirinti. Su labirinti che non contengono un sommergibile come quello nella figura si esibirà come un normale automa che segue la destra.$A$

Allo stesso modo è possibile codificare un numero finito di forme di dimensioni fisse diverse per evitare vicoli ciechi e accelerare l'automa. Di conseguenza, non esiste un risolutore di labirinti miopi "ottimale" per labirinti semplicemente collegati con l'uscita posta sul bordo.

Il trucco funziona se l'ingresso è posizionato all'interno del labirinto e anche l'uscita sul confine; ma se l'uscita si trova all'interno del labirinto, allora non funziona perché tutte le posizioni devono essere visitate e in questo caso il tuo risolutore miope è ottimale.

Ovviamente non puoi applicare lo stesso trucco per risolvere labirinti non semplicemente connessi (ma dovrebbe funzionare se c'è un limite superiore fisso sulla dimensione di ciascun componente non collegato).

Domanda 1

Penso che la tua definizione di meglio sia troppo rigorosa, nel senso che il finito è troppo restrittivo (ma non ho una definizione migliore).

$R=(R_i)_i$$R_i$$i$$L$$A_R$$A_L$$R$$L$$A_R$$A_L$

$A_R$$R$$A_R$

I trasduttori probabilistici possono probabilmente essere esclusi poiché un trasduttore deterministico sarà più veloce su questi infiniti set di labirinti.

Domanda 2 (grazie alla discussione con OP )

No. (fonte: questo innovativo articolo di Lothar Budach. Il teorema è più chiaramente affermato nell'abstract di questo articolo di Frank Hoffmann.)