Scelta di un sottoinsieme per massimizzare la distanza minima tra i punti

Ho una serie di punti e ho la distanza tra ogni punto . Queste distanze sono euclidee ma i punti si trovano in realtà in uno spazio di caratteristiche. $C$ $D(P_i,P_j)$

Tra i punti voglio scegliere un sottoinsieme di punti. Chiama questo sottoinsieme . Voglio scegliere questo sottoinsieme in modo da massimizzare la distanza minima tra tutti i punti nel nuovo set di . $C$ $n$ $s$ $s$

max_{\begin{matrix} s \subset C \\ | s | = n \end{matrix}} (min_{\begin{matrix} i, j \in s \\ i \neq j \end{matrix}} D (P_{i}, P_{j}))

$\max_{\substack{s \subset C \\ |s| = n}} \left( \min_{\substack{i,j \in s \\ i \neq j} } D \left( P_i, P_j \right) \right)$

In questo momento sto usando l'arrampicata per risolvere questo problema. Comprendo che la ricottura simulata potrebbe fornire una soluzione migliore.

Esiste una soluzione nota a questo tipo di problema? O questo problema può essere riformulato in un altro problema che può essere facilmente risolto?

optimization

— user1389800
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Sono interessato a un problema simile. Sulla base dei miei risultati di ricerca fino ad ora, è paragonabile al problema della dispersione p nel problema di localizzazione della struttura per il quale questo è un bel documento di revisione.

— XTZ

Sai come si chiama questo problema?

— Tarassaco

La versione del problema decisionale di questo problema di ottimizzazione è:

Data una soglia , si desidera sapere se è possibile trovare un sottoinsieme di punti in modo tale che ogni coppia di punti nel sottoinsieme sia almeno unità. $t$ $n$ $t$

Naturalmente, se riesci a risolvere il problema decisionale, possiamo risolvere il tuo problema di ottimizzazione (mediante ricerca binaria sulla soglia ). $t$

Ora questo problema di decisione è il problema di trovare un insieme indipendente in un grafico euclideo, dove i punti hanno un vantaggio tra di loro se sono a distanza a parte. Un approccio sarebbe quello di esaminare algoritmi di approssimazione standard per set indipendenti. $x,y$ $\le t$

Ancora meglio, puoi guardare gli algoritmi per un set indipendente nei grafici delle intersezioni geometriche . Prendere in considerazione una serie di dischi, in cui ogni disco ha un diametro ed è centrata in uno dei punti nella vostra serie . Ora possiamo formare un grafico di intersezione geometrica, in cui esiste un vertice per ciascun disco e un bordo tra due vertici se i loro dischi corrispondenti si intersecano. È stato studiato il problema di trovare un set indipendente in questo tipo di grafico e ci sono algoritmi di approssimazione per questo problema che potresti provare a usare. $t$ $C$

Se si desidera l'esatto ottimale anziché un'approssimazione, è possibile utilizzare uno qualsiasi dei "martelli grandi" standard, come un solutore SAT o un risolutore ILP. Esiste un modo semplice per formulare il problema del set indipendente come istanza SAT, quindi è possibile applicare un solutore SAT per scoprire se esiste un sottoinsieme di punti che sono tutti unità distanti tra loro. $n$ $\ge t$

— DW
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